3.2.5  Taylor级数

命令1  符号函数的Taylor级数展开式

函数  taylor

格式  r = taylor(f,n,v)   %返回符号表达式f中的、指定的符号自变量v（若表达式f中有多个变量时）的n-1阶的Maclaurin多项式（即在零点附近v=0）近似式，其中v可以是字符串或符号变量。

r = taylor(f)      %返回符号表达式f中的、符号变量v的6阶的Maclaurin多项式（即在零点附近v=0）近似式，其中v=findsym(f)。

r = taylor(f,n,v,a)   %返回符号表达式f中的、指定的符号自变量v的n-1阶的Taylor级数（在指定的a点附近v=a）的展开式。其中a可以是一数值、符号、代表一数字值的字符串或未知变量。我们指出的是，用户可以以任意的次序输入参量n、v与a，命令taylor能从它们的位置与类型确定它们的目的。解析函数f(x)在点x=a的Taylor级数定义为：

例3-46

>>syms x y a pi m m1 m2

>>f = sin(x+pi/3);

>>T1 = taylor(f)

>>T2 = taylor(f,9)

>>T3 = taylor(f,a) 

>>T4 = taylor(f,m1,m2)

>>T5 = taylor(f,m,a)

>>T6 = taylor(f,y)

>>T7 = taylor(f,y,m)   % 或taylor(f,m,y)

>>T8 = taylor(f,m,y,a)

>>T9 = taylor(f,y,a)

计算结果为：

T1 =

1/2*3^(1/2)+1/2*x-1/4*3^(1/2)*x^2-1/12*x^3+1/48*3^(1/2)*x^4+1/240*x^5

T2 =

1/2*3^(1/2)+1/2*x-1/4*3^(1/2)*x^2-1/12*x^3+1/48*3^(1/2)*x^4+1/240*x^5-1/1440*3^(1/2)* x^6-1/10080*x^7+1/80640*3^(1/2)*x^8

T3 =

sin(a+1/3*pi)+cos(a+1/3*pi)*(x-a)-1/2*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^2-1/6*cos(a+1/3*pi)*  (x-a)^3+1/24*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^4+1/120*cos(a+1/3*pi)*(x-a)^5

T4 =

sin(m2+1/3*pi)+cos(m2+1/3*pi)*(x-m2)-1/2*sin(m2+1/3*pi)*(x-m2)^2-1/6* cos(m2+1/3*pi)*(x-m2)^3+1/24*sin(m2+1/3*pi)*(x-m2)^4+1/120* 

cos(m2+1/3*pi)*(x-m2)^5

T5 =

sin(a+1/3*pi)+cos(a+1/3*pi)*(x-a)-1/2*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^2-1/6*cos(a+1/3*pi)*  (x-a)^3+1/24*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^4+1/120*cos(a+1/3*pi)*(x-a)^5

T6 =

sin(y+1/3*pi)+cos(y+1/3*pi)*(x-y)-1/2*sin(y+1/3*pi)*(x-y)^2-1/6*cos(y+1/3*pi) *(x-y)^3+1/24*sin(y+1/3*pi)*(x-y)^4+1/120*cos(y+1/3*pi)*(x-y)^5

T7 =

sin(m+1/3*pi)+cos(m+1/3*pi)*(x-m)-1/2*sin(m+1/3*pi)*(x-m)^2-1/6*cos(m+1/3*pi) *(x-m)^3+1/24*sin(m+1/3*pi)*(x-m)^4+1/120*cos(m+1/3*pi)*(x-m)^5

T8 =

sin(a+1/3*pi)+cos(a+1/3*pi)*(x-a)-1/2*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^2-1/6*cos(a+1/3*pi)*  (x-a)^3+1/24*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^4+1/120*cos(a+1/3*pi)*(x-a)^5

T9 =

sin(a+1/3*pi)+cos(a+1/3*pi)*(x-a)-1/2*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^2-1/6*cos(a+1/3*pi)*  (x-a)^3+1/24*sin(a+1/3*pi)*(x-a)^4+1/120*cos(a+1/3*pi)*(x-a)^5

命令2  Taylor级数计算器

函数  taylortool

格式  taylortool   %该命令生成一图形用户界面，显示缺省函数f=x*cos(x)在区间[-2*pi，2*pi]内的图形，同时显示函数f的前N=7项的Taylor多项式级数和(在a=0附近的)图形，如图1。通过更改f(x)项可得不同的函数图形。

taylortool(\'f\')  %对指定的函数f，用图形用户界面显示出Taylor展开式。（图3-14）

例3-47

>>taylortool(\'sin(x*sin(x))\')

再通过改变相关的参量，可得如图3-15。

  

         

 

     

图3-14  Taylor级数计算器                    图3-15  函数sin(x*sin(x))的taylortool界面

3.2.6  其它

命令1  Jacobian矩阵

函数  jacobian

格式  R = jacobian(w,v)   

说明  计算w对v的Jacobian矩阵。其中w为符号单值函数表达式或符号列向量，v为一符号行向量。输出参量R=（rij）的元素rij 为：，i=1,2,…,size(w)，j=1,2,…,length(v)

例3-48

>>syms x y z u v w

>>w = [x*y*z; y; x+z];

>>v = [x,y,z];        

>>R = jacobian(w,v)

>>b = jacobian(x+u, v)

计算结果为：

R =

    [ y*z,  x*z, x*y]

    [   0,   1,   0]

    [   1,   0,   1]

b =

    [ 1, 0, 0]

命令2  Jordan标准形

函数  jordan

格式  J = jordan(A)   %计算矩阵A的Jordan标准形。其中A为一确切已知的符号或数值矩阵。即它的元素必须是整数或小整数的比值。任何的矩阵输入误差将导致不同的Jordan标准形。即Jordan标准形对数据是敏感的。

[V,J] = jordan(A)   %返回Jordan标准形矩阵J与相似变换矩阵V，其中V的列向量为矩阵A的广义特征向量。它们满足：V\A*V=J。

例3-49

>>A = [1 -3 -2; -1  1 -1; 2 4 5]

>> [V,J] = jordan(A)

>>V = double(V);

>>Test = all(all(V\A*V == J))

计算结果为：

V =

    -1    -1     1

     0    -1     0

     1     2     0

J =

     3     0     0

     0     2     1

     0     0     2

Test = 1

命令3  Lamber的W函数

函数  lambertw

格式  Y = lambertw(X)   %计算参量X的每一元素x的Lamber的W函数值，其中X为一数值或符号矩阵。Lamber的函数W=W(x)为方程的解：wew = x。

例3-50

>>W1 = lambertw([ -exp(-1); pi]) 

>>syms x y

>>W2 = lambertw([0 x;1 y])

计算结果为：

W1 =

     -1.0000 + 0.0000i

      1.0737        

W2 =

      [         0, lambertw(x)]

      [ lambertw(1), lambertw(y)]

命令4  符号表达式的LaTex的表示式

函数  latex

格式  latex(S)   %返回符号表达式S的LaTex格式的表示式。该格式可以使表达式S在图形窗口中进行显示（如命令title、text等）。

例3-51

>>syms x

>>f = taylor(sin(1+x)); 

>>Lat1 = latex(f) 

>>M = sym(magic(3)); 

>>Lat2 = latex(M)

计算结果为：

Lat1 =

\sin(1)+\cos(1)\mbox {{\tt `x~`}}-1/2\,\sin(1){\mbox {{\tt `x~`}}}^{2}-1/6\,\cos(1){\mbox {{\tt `x~`}}}^{3}+1/24\,\sin(1){\mbox {{\tt `x~`}}}^{4}+{\frac {1}{120}}\,\cos(1){\mbox {{\tt `x~`}}}^{5}

Lat2 =

\left [\begin {array}{ccc} 8&1&6\\\noalign{\medskip}3&5&7\\\noalign{\medskip}4…

&9&2\end {array}\right ]

命令5  调用Maple内核

函数  maple

格式  r = maple(\'statement\')   %将参数命令statement传递给Maple内核，且返回计算结果。在必要时，可以在参量statement后面加上分号(;)。

r = maple(\'function\',arg1,arg2,…)   %该命令接受任何的带引号的函数名\'function\'，与相关的输入参量arg1,arg2,…。在必要时，要将输入参量转换成符号表达式。若输入参量为syms，则maple返回一sym，否则返回一类型为char的结果。

[r, status] = maple(…)   %有条件地返回警告/错误信息。当语句能顺利执行，则r为计算结果，status为0；若语句不能通过执行，r为相应的警告/错误信息，而status为一正整数。

maple(\'traceon\') 、maple traceon、maple trace on   %将显示所有的后面的Maple语句与其相应的结果显示于屏幕上

maple(\'traceoff\') 、maple traceoff、maple trace off   %将关闭上面的操作特性

例3-52

>>Pi = maple(\'evalf(Pi,100)\')

>>syms x

>>v = [x^2-1;x^2-4]

>>maple traceon

>>w = factor(v) 

计算结果为：

Pi =

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164…

                                           06286208998628034825342117068

v =

    [ x^2-1]

    [ x^2-4]

statement:

   map(ifactor,array([[x^2-1],[x^2-4]]));

result:

   Error, (in ifactor) invalid arguments

statement:

   map(factor,array([[x^2-1],[x^2-4]]));

result:

   matrix([[(x-1)*(x+1)], [(x-2)*(x+2)]])

w =

[ (x-1)*(x+1)]

[ (x-2)*(x+2)]

命令6  初始化Maple内核

函数  mapleinit

格式  mapleinit   该命令用于确定包含Maple库的路径，再装载Maple的线性代数与积分变换包、初始化命令digits、指定几个别名。用户可以编辑mapleinit的M-文件，用于改变到Maple包的路径，只需按如下的方法改变变量initstring的值：

1．若用户已经有一Maple V，Release 5的库在目录C:\Maple\Lib上，在文件mapleinit.m中加入：maplelib = \'C:\MAPLE\LIB\'

2．从MATLAB中删除旧的Maple包版本。

命令7  Maple数学函数的数值计算

函数  mfun

格式  Y = mfun(\'function\',par1,par2,par3,par4) 

说明  计算一指定的Maple软件中已知的数学函数function的数值。每一参量par为该函数相应的具体数值。用户可以输入满4个参量。最后指定的参量可以是矩阵，通常对应于x。其他参量的位数取决于该函数规定的范围。用户可以通过下面的命令获得相关参数的信息：help mfunlist；mhelp function；Maple用16位精度计算函数function。函数function中的任何奇异值将返回NaN。

例3-53

>>M1 = mfun(\'dilog\',5) 

>>M2 = mfun(\'Psi\',[3*i 0])

计算结果为：

M1 =

     -2.3699

M2 =

     1.1080 + 1.7375i      NaN

命令8  列出命令mfun中特定的Maple函数

函数  mfunlist

格式  mfunlist 

1．列出在使用命令mfun中用到的特殊的数学函数。下表中参量的一些约定：x,y：实数参量；z,z1,z2：复数参量；m,n：整数参量

表3-1  mfun特殊函数

函数名	定   义	Mfun名	参量说明
Bernoulli数 与多项式	生成函数：	Bernoulli(n) Bernoulli(n,t)	n≥0 0<|t|<2π
Bessel函数	BesselI, BesselJ：第一类Bessel函数 BesselK, BesselY：第二类Bessel函数	BesselJ(v,x) BesselY(v,x) BesselI(v,x) BesselK(v,x)	v为实数
Beta函数		Beta(x,y)
二项式系数		Binomial(m,n)
完全椭圆积分	第一、二、三类Legendre完全椭圆积分	LegendreKc(k) LegendreEc(k) LegendrePic(a,k)	a为任意实数 -∞<a<∞ k为任意实数 0<k<1
带余模的完全 椭圆积分	与余模相关的第一、二、三类Legendre完全椭圆积分	LegendreKc1(k) LegendreEc1(k) LegendrePic1(a,k)	a为任意实数 -∞<a<∞ k为任意实数 0<k<1
余差函数 与它的累积分	Erfc(z) =    erfc(n,z) =	erfc(z) erfc(n,z)	n>0
Dawson积分		dawson(x)
Ψ-函数		Psi(x)
二重对数积分		dilog(x)	x>1
误差函数		erf(z)
Euler数与多项式	生成Euler数的函数：	euler(n) euler(n,z)	n≥0 |t|<π/2
指数积分		Ei(n,z) Ei(x)	n≥0 real(z)>0
Fresnel正弦 与余弦积分		FresnelC(x) FresnelS(x)
Г-函数		GAMMA(z)
调和函数	=Ψ(n+1) + γ	harmonic(n)	n>0
双曲正弦 与余弦积分	Chi(z) = γ+ln(z) +	Shi(z) Chi(z)
广义超几何函数	F(n,d,z) =	hypergeom(n,d,x) 其中 n = [n1,n2,…] d = [d1,d2,…]	n1,n2,… 为实数 d1,d2,… 为非负实数
不完全椭圆积分	第一、二、三类不完全Legendre完全椭圆积分	LegendreF(x,k) LegendreE(x,k) LegendrePi(x,a,k)	0<x≤∞，a为实数 -∞<a<∞，k为实数 0<k<1
不完全Г-函数	Г(a,z)=	GAMMA(z1,z2)
Г-函数的对数	lnГ(z) = ln(Г(z))	lnGAMMA(z)
对数积分	= Ei(ln(x))	Li(x)	x>1
Г多项式函数	其中Ψ(z)为Γ-函数	Psi(n,z)	N≥0
移位正弦积分	Ssi(z)=Si(z) – π/2	Ssi(z)

对于上面的特殊函数function，用户可以通过下面的命令得到更多的帮助信息：mhelp function

总的来说，函数的精度跟它的根相比会较低，且当它的参数相对而言较大时，精度也较底。函数的执行时间取决于特定的函数与它的输入参量。总之，其计算将比标准的MATLAB计算慢一些。

2．正交多项式函数：

下面的函数需要Maple正交多项式包，它们仅仅对于MATLAB的扩展符号数学工具箱有用。在使用这些函数之前，用户要用下面的命令初始化Maple正交多项式包：maple(\'with\',\'orthopoly\')

表3-2  正交多项式函数

下表参量的约定：n：非负整数；x：任意实数

多  项  式	Maple名	参量说明
Gegenbauer多项式	G(n,a,x)	a为非有理数代数表达式或者是大于-1/2的有理数
Hermite多项式	H(n,x)
Laguerre多项式	L(n,x)
广义Laguerre多项式	L(n,a,x)	a为非有理数代数表达式或者是大于-1的有理数
Legendre	P(n,x)
Jacobi	P(n,a,b,x)	a与b为非有理数代数表达式或者是大于-1的有理数
第一、二类Chebyshev多项式	T(n,x)U(n,x)

命令9   Maple命令帮助

函数  mhelp

格式  mhelp topic、mhelp(\'topic\') 

说明  返回Maple软件中指定的Maple标题topic的在线帮助文档信息。

命令10  交互式计算Riemann和

函数  rsums

格式  rsums(f)   %交互式地通过Riemann和计算函数f(x)的积分。rsums(f)显示函数f 的图形。用户可以通过拖动图形下方的滑块来调整Riemann和的项数，有效的项数从2到128。

例3-54

>>rsums sin(-5*x^2)

计算图形为图3-16。

 

 

图3-16  函数的Riemann和

命令11  在一符号表达式或矩阵中进行符号替换

函数  subs

格式  R = subs(S)   %用从调用的函数中获得的变量值，或MATLAB的工作空间中存在的变量值，替换表达式S中所有出现的相同的变量，同时自动进行化简计算；若是数值表达式，则计算出结果。

R = subs(S,old,new)   %用新值new替换表达式s中的旧值old，参量old是一符号变量或代表一变量名的字符串，new是一符号/数值变量或表达式。若old与new为有相同大小的阵列，则用new中相应的元素替换old中的元素；若S与old为标量，而new为阵列或单元阵列，则标量S与old将扩展为与new同型的阵列；若new为数值矩阵的单元阵列，则替换按元素的方向执行。若subs(S,old,new)没有改变S，则subs(S,old,new)被证明是可靠的。这提供了对以前版本的向后兼容性，且不会交换参量的位置。

例3-55

>>a = 980,C1=3;

>>y = dsolve(\'Dy = -a*y\')

>>syms b

>>subs(y)

>>subs(a+b,a,4)

>>subs(cos(a)+sin(b),{a,b},{sym(\'alpha\'),2})

>>subs(exp(a*t),\'a\',-magic(2))

>>subs(x*y,{x,y},{[0 1;-1 0],[1 -1;-2 1]})

命令12  创建符号数值、变量与对象

函数  sym

格式  S = sym(A)   %用输入参量A，构造一类型为‘sym’的对象s。若A为字符串，则S为符号数值或变量；若A为一数值标量或矩阵，则S为代表所给数值的符号表达式。

x = sym(\'x\')   %创建一名字为‘x’的符号变量，且将结果存于x。

pi = sym(\'pi\')   %创建一符号数值，这可避免了用浮点近似表示π的误差，pi的这种创建方法将暂时地代替了有相同名字、用于生成无理数π的近似值的内建数值函数pi.m。

x = sym(\'x\',\'real\')   %创建一实符号变量。若x有了具体的值，则命令clear x只能清除x的值，而不能改变x的“属性”。

x = sym(\'x\',\'unreal\')  %使x变成一纯粹的、没有任何附加属性的符号变量。

S = sym(A,flag)   %将一数值标量或矩阵转换成符号形式。对浮点数值的转换方法要用第二个参量flag来指定。其中flag可以是\'r\'、\'d\'、\'e\'、\'f\'。

’f’：代表“浮点格式”。

’r’：代表“有理格式”（该方式为缺省转换格式）。

’e’：代表“估计误差”。

’d’：代表“十进制格式”。

命令13  创建多个符号对象的快捷命令

函数  syms

格式  syms  arg1  arg2 …     %定义arg1、arg2为符号

syms  arg1 arg2 … real   %该命令是下列命令的简洁形式：

arg1 = sym(\'arg1\',\'real\');

arg2 = sym(\'arg2\',\'real\'); …

syms arg1 arg2 … unreal   %该命令是下列命令的简洁形式：

arg1 = sym(\'arg1\',\'unreal\');

arg2 = sym(\'arg2\',\'unreal\'); …

注：clear x不能清除符号变量x的属性“real”，只能清除变量x。要想清除该属性，要输入：syms x unreal或clear mex或clear all。执行后面的两个命令后，Maple内核将重新装载入MATLAB的工作空间（这是不可取的，因为花费时间）。

例3-56

>>syms x beta real  %符号对象已经生成，执行下面一些操作：

>>whos

将显示工作空间中存在变量的详细信息：

      Name       Size         Bytes  Class

       beta       1x1            132  sym object

        x        1x1            126  sym object

      Grand total is 7 elements using 258 bytes

 y = x + i*beta; clear x; y 

通过上面的操作，我们看到，当x被清除掉后，y的值并没有马上改变：

 y =

     x+i*beta

命令14  将符号多项式转化为数值多项式

函数  sym2poly

格式  c = sym2poly(s)   %返回符号多项式s的数值系数行向量c。多项式自变量次数的系数按降幂排列。即行向量c的第一分量c1为多项式s的最高次数项的系数，c2为第二高次数项的系数，如此类推。

例3-57

>>syms x u;

>>c1 = sym2poly(3*x^3 - 2*x^2 – sqrt(5)) 

>>c2 = sym2poly(u^4 – 3 + 5*u^2)

计算结果为：

c1 =

     3.0000   -2.0000    0   -2.2361

c2 =

     1     0     5     0    -3

命令15  可变精度算法

函数  vpa

格式  R = vpa(A)   %用可变精度算法来计算A中的每一元素，使其成为有d位精确度的十进制数。其中d为命令digits设置的当前位数。R中的每一元素为一符号表达式。

R = vpa(A,d)或R = vpa A d   %用参量d指定的位数(而非命令digits设置的位数)来表示A中的每一元素。R中的每一元素为一符号表达式。

例3-58

>>digits(25)

>>q = vpa(sym(sin(pi/6)))

>>p = vpa(pi)

>>gold_ratioi = vpa(\'(sqrt(5)-1)/2\')

>>vpa pi 75 

>>A = vpa(gallery(5),8)

>>B = vpa(hilb(3),5)

计算结果为：

q =

    .5000000000000000000000000

p =

    3.141592653589793238462643

gold_ratioi =

          .6180339887498948482045870

ans =

     3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097… 494459230781640629

A =

    [     -9.,     11.,    -21.,     63.,   -252.]

    [     70.,    -69.,    141.,   -421.,   1684.]

    [   -575.,    575.,  -1149.,   3451., -13801.]

    [   3891.,  -3891.,   7782., -23345.,  93365.]

    [   1024.,  -1024.,   2048.,  -6144.,  24572.]

B =

    [     1., .50000, .33333]

    [ .50000, .33333, .25000]

    [ .33333, .25000, .20000]

命令16  符号表达式的C语言代码

函数  ccode

格式  ccode(s)   %返回C语言的、用于计算符号表达式s的语句段落

例3-59

>>syms x

>>s = taylor(exp(x));

>>ccode(s)

计算结果为：

ans =

      t0 = 1.0+x+x*x/2.0+x*x*x/6.0+x*x*x*x/24.0+x*x*x*x*x/120.0;

注：t0为在x=0附近的计算公式（Taylor展式）。

命令17  符号表达式的Fortran语言代码

函数  fortran

格式  fortan(s)   %返回一Fortan语言的、用于计算符号表达式s的语句段落

例3-60

>>syms x

>>f = taylor(sin(x));

>>F1 = fortran(f)

>>H = sym(hilb(4));

>>F2 = fortran(t*(H))

计算结果为：

F1 =

        t0 = x-x**3/6+x**5/120

F2 =

        T(1,1) = t      T(1,2) = t/2     T(1,3) = t/3     T(1,4) = t/4

        T(2,1) = t/2    T(2,2) = t/3     T(2,3) = t/4     T(2,4) = t/5

        T(3,1) = t/3    T(3,2) = t/4     T(3,3) = t/5     T(3,4) = t/6 

        T(4,1) = t/4    T(4,2) = t/5     T(4,3) = t/6     T(4,4) = t/7