矩阵分解

　　矩阵分解 (decomposition, factorization)是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积。

1.三角分解法：

要求原矩阵为方阵，将之分解成一个上三角形矩阵（或是排列(permuted) 的上三角形矩阵）和一个下三角形矩阵，简称LU分解法。

注意：这种分解法所得到的上下三角形矩阵并非唯一，还可找到数个不同的一对上下三角形矩阵。

MATLAB：

[L,U]=lu(A)，A为方阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。

2.QR分解法：

A为任意矩阵，将A矩阵分解成一个正规正交矩阵与上三角形矩阵。

Matlab:

[Q,R]=qr(A)，A为M*N的矩阵，R为M*N的上三角矩阵，Q为M*M的矩阵。 A = Q*R

3.奇异值分解法：

是最可靠的分解法，但是花费时间是QR分解的10倍，

[U,S,V]=svd(A)，其中U和V代表二个相互正交矩阵，而S代表一对角矩阵，原矩阵A不必为正方矩阵。

使用SVD分解法的用途是解最小平方误差法和数据压缩。

matlab:

[U,S,V]=svd(A)

 基础知识

 1. 矩阵的秩：矩阵的秩是矩阵中线性无关的行或列的个数

 2. 对角矩阵：对角矩阵是除对角线外所有元素都为零的方阵

 3. 单位矩阵：如果对角矩阵中所有对角线上的元素都为1，该矩阵称为单位矩阵

 4. 特征值：对一个M x M矩阵C和向量X，如果存在λ使得下式成立 

5.正交矩阵：

A^TA=E（即A^-1=A^T)