介绍一下奇异值分解来压缩图像。今年的上半年中的一篇博客贴了一篇用奇异值分解处理pca问题的程序，当时用的是图像序列，是把图像序列中的不同部分分离开来。这里是用的不是图像序列了，只是单单的一幅图像，所以直接就对图像矩阵进行svd了。

　　吴军的《数学之美》里其实已经介绍过用svd进行大数据的压缩了，不过我这里还是针对图像进行介绍一下吧。比如一幅1000*1000的图像A，存储就需要1000000个像素了。我们对A进行svd分解，则A=USV’，如果rank(A)=r，那么U就为1000*r的矩阵，S为r*r的矩阵，V为1000*r的矩阵。所以存储的数据就是1000*r+r*r+1000*r个数了，如果这个r比较小，那么存储的空间就会小很多了，当然了，如果r=1000，这时这样来算svd就是既浪费了空间又浪费了时间。所以用这个svd时，还是先看看它的秩为好。

　　下面给出程序和运行结果，这里使用不同的特征分量对原图像进行重构，可以看一下效果。（这里悲剧的秩就是原图的宽）

clear all;
close all;
clc;

a=imread('lena.jpg');

imshow(mat2gray(a))
[m n]=size(a);
a=double(a);
r=rank(a);
[s v d]=svd(a);

%re=s*v*d';
re=s(:,:)*v(:,1:1)*d(:,1:1)';
figure;
imshow(mat2gray(re));
imwrite(mat2gray(re),'1.jpg')

re=s(:,:)*v(:,1:20)*d(:,1:20)';
figure;
imshow(mat2gray(re));
imwrite(mat2gray(re),'2.jpg')

re=s(:,:)*v(:,1:80)*d(:,1:80)';
figure;
imshow(mat2gray(re));
imwrite(mat2gray(re),'3.jpg')

re=s(:,:)*v(:,1:150)*d(:,1:150)';
figure;
imshow(mat2gray(re));
imwrite(mat2gray(re),'4.jpg')

下面是效果图：

 lena原图

 只用第1个特征值进行重构

 用前10个特征值进行重构

 用前80个特征值进行重构

 用前150个特征值进行重构

最后说一些奇异值分解的应用：

1.图像压缩，正如上面的。

2.噪声滤波。

3.模式识别。因为svd就是提取主要的成分嘛。

4.生物，物理，经济方面的一些统计模型的处理。