3.1 假设检验的基本概念

例3.1 已知小麦亩产服从正态分布，传统小麦品种平均亩产800斤，现有新品种产量未知，试种10块，每块一亩，产量为：

775,816,834,836,858,863,873,877,885,901

问：新产品亩产是否超过了800斤？

假设检验就是概率意义上的反证法。要证明命题H₁：，可以首先假设H₀：。本体中容易计算样本均值超过800了，有没有可能超过800的原因是由于抽样的随机性引起的？是否总体均值根本没有变化？我们看如下的统计量：

容易看出，如果新品种确有增产效应，应偏大，不利于H₀，取，查表求临界值，使得，即构造不利于H₀，有利于H₁的小概率事件，如果在一次试验中该小概率事件发生了，就有理由拒绝H₀，认为H₁成立。

严格逻辑意义上的反证法思路如下：欲证H₁成立，先假设其否命题H₀成立，然后找出逻辑意义上的矛盾，从而推翻H₀成立，严格证明H₁成立。假设检验的思路类似，只不过引出的不是矛盾，而是小概率事件在一次实验中发生。

我们称想要证明的命题H₁为备择假设，对立的命题H₀称为原假设，面对样本，我们必须表态是接受原假设还是拒绝原假设，这有可能出现两类错误。如果客观上原假设的确成立，面对样本的异常我们拒绝了原假设，这种"以真为假"的错误我们称为第一类错误，发生的概率用表示；如果客观上备择假设成立，我们却接受了原假设，这种"以假为真"的错误我们称为第二类错误，用发生的概率用表示。假设假设检验一般首先控制第一类错误，即：当我们拒绝原假设时有比较充足的理由，犯错误的概率不超过预设的，称为显著性水平。常用的显著性水平有

这种预设显著性水平的假设检验也称为显著性检验，以后我们提到的假设检验都是显著性检验。对于显著性检验，当接受原假设时，可以认为是拒绝的证据不足。

对于例3.1的问题，取，当时拒绝原假设。这里称为检验统计量，所确定的的取值范围称为拒绝域。

x=[775,816,834,836,858,863,873,877,885,901];

T=(mean(x)-800)/(std(x)/sqrt(9)),

ta=tinv(0.95,9),

计算结果T=4.1669>ta=1.8331，故拒绝原假设，认为确有增产。

之所以查表求临界值，是因为当初计算机及数学软件尚未普及，人们利用稀有的计算机资源计算出了一些关键的临界值，供没有计算机的人们膜拜使用。因此上述解题套路是几乎所有教科书上使用的方法，不妨称为"查表法"。

由于计算机及数学软件的普及，统计方法的使用套路也应该更新，如果写作业写论文都用计算机打字，真正数学计算反而要翻书本查表，怎么看也都很滑稽。

其实，Matlab可以计算常用分布在任意一点的分布函数的值，例如对于上述T=4.1669，可以直接计算分布函数在该点的值：

p=tcdf(T,9)

计算结果为0.9988，超过了。或者计算出1-p=0.0012，小于我们预设的显著性水平。面对0.0012这个值，我们拒绝了原假设，就是使用了概率意义上的反证法。我们可以做一个比喻：张三每天上网游戏，期末考试肯定不及格，我们说："要想张三及格，除非明天太阳从西边出来"。这里原假设是"及格"，备择假设"不及格"是我们想证明的东西。其等价的逆否命题是：因为明天太阳不会从西边出来，所以张三一定不及格。这是我们说话的内含逻辑。"太阳从西边出来"是不可能事件，我们使用的是语文上"夸张"的修辞方法以表达对张三的极度鄙视。

现在，面对新品种亩产数据，我们的结论是：要说没有增产效应，除非明天下大雹子。这里没有"夸张"，因为1-p=0.0012大约为千分之一，是类似于不可能事件的极小概率事件，和明天下大雹子一样罕见（大约三年才得一见）。我们计算出来的1-p越小，说明备择假设成立的证据越充足。

几十年前，对于自由度为9的分布，我们只能将

1.3830，1.8331 ，2.2622，2.8214

等少数几个值印在书上，现在我们可以计算p=tcdf(T,9)在任意一点分布函数的值。

3.2 正态总体参数的假设检验

3.2.1 单正态总体均值的假设检验

设为来自正态总体简单随机样本，为我们关心的已知的值，原假设为：

H₀：

（1）方差已知情形

此时，检验统计量为，H₀成立时，依据备择假设的不同提法，分三种情况分别给出拒绝域。

1）双侧检验 备择假设H₁： 拒绝域：

这种情形我们关心的是总体均值是否发生了变化，增多减少都是我们同等关注的。例如要研究某种药物的副作用，是否引起血压的变化，变大变小都是副作用，如果实验证明了确有副作用，就该停产或慎用。

2）单侧检验（右侧） 备择假设H₁： 拒绝域：

这种情形我们关心的是总体均值是否有增加效应，例如小麦亩产。无增产效应或者减产都是我们不希望看到的，我们希望证明的是增产了。

3）单侧检验（左侧） 备择假设H₁： 拒绝域：

这种情形我们希望看到总体均值变小了。每匹布上疵点的个数。新工艺后是否有减少。

（2）方差未知情形

原假设H₀：

此时，检验统计量为，H₀成立时，依据备择假设的不同提法，分三种情况分别给出拒绝域。

1）双侧检验 备择假设H₁： 拒绝域：

2）单侧检验（右侧） 备择假设H₁： 拒绝域：

3）单侧检验（左侧） 备择假设H₁： 拒绝域：

其实，上一章中区间估计与这里的双侧检验本质上是相同的：区间套中接受原假设，没套中则拒绝原假设。只不过检验统计量的计算更简单些。类似于单侧检验，也可以有单侧区间估计。

3.2.2 单正态总体方差的假设检验

设为来自正态总体简单随机样本，为我们关心的已知的值，原假设为H₀：，检验统计量为

当H₀成立时，，由此可查临界值表，构造拒绝域。

（1）双侧检验 此时备择假设为H₁：，也就是说，我们希望通过样本找到总体方差比较有明显变化的证据，无论变大变小都是我们希望证明的。

此时取临界值与，使得，，拒绝域为：（方差变小了），或者（方差变大了）。

当已经赋值的时候，执行如下Matlab命令可得到临界值。

a=0.05, n=20, c1=chi2inv(a/2,n-1), c2=chi2inv(1-a/2,n-1),

（2）单侧检验（右侧） 此时备择假设为H₁：，也就是说，我们关心的是方差是否变大了。此时临界值为满足，可用

c=chi2inv(1-a,n-1)

（3）单侧检验（左侧） 此时备择假设为H₁：，也就是说，我们关心的是方差是否变小了。此时临界值为满足，可用

c=chi2inv(a,n-1)

3.2.3 两正态总体均值的假设检验

设为来自正态总体的简单随机样本，为来自正态总体的简单随机样本，且两样本独立。为比较两个总体的期望，提出如下原假设：

H₀：

与前面类似，备择假设有双侧、单侧（左侧、右侧）等提法。

（1）方差已知情形

此时检验统计量为，当H₀成立时服从标准正态分布，临界值，含义及计算方法同前。

1）双侧检验 H₁：，拒绝域：

2）右侧检验 H₁：，拒绝域：

3）左侧检验 H₁：，拒绝域：

（2）方差未知但相等情形

此时原假设仍为H₀：，备择假设同样有三种提法。检验统计量为：

当H₀成立时，由此得临界值，。

1）双侧检验 H₁：，拒绝域：

2）右侧检验 H₁：，拒绝域：

3）左侧检验 H₁：，拒绝域：

3.2.4 两正态总体方差的假设检验

设为来自正态总体的简单随机样本，为来自正态总体的简单随机样本，且两样本独立。为比较两个总体的方差，提出如下原假设：

H₀：

与前面类似，备择假设有双侧、单侧（左侧、右侧）等提法。此时检验统计量为，当H₀成立时，，在Matlab中，如果m,n已经赋值，例如m=8,n=10则

c1=finv(0.025,7,9)，c2=finv(0.975,7,9)

分别给出了时的两个临界值，双侧检验的拒绝域为或。

c3=finv(0.05,7,9)

给出了左侧检验临界值，时拒绝原假设，认为备择假设H₁：成立。

c4=finv(0.95,7,9)

给出了右侧检验临界值，时拒绝原假设，认为备择假设H₁：成立。

3.2.5 大样本非正态总体均值的假设检验

设为来自非正态总体的简单随机样本，设总体均值与总体方差有限，原假设

H₀：

此时可以将作为近似的检验统计量，当样本容量很大时（例如100），由中心极限定理知H₀成立时近似服从标准正态分布，可以仿照3.2.1小节中的算法检验如下三个备择假设：

H₁：； H₁：； H₁：

设为来自非正态总体的简单随机样本，为来自非正态总体的简单随机样本，且两样本独立。两个总体有有限的均值与方差，均值为与，为比较两个总体的期望，提出如下原假设：

H₀：

与前面类似，备择假设有双侧、单侧（左侧、右侧）等提法。此时可以将

近似作为检验统计量，当两个样本容量都很大时（例如100），由中心极限定理知H₀成立时近似服从标准正态分布，可以仿照3.2.3小节中的算法检验如下三个备择假设：

H₁：； H₁：； H₁：

3.3 三个常用的非参数检验

大样本情形下，对于非正态总体，可以利用中心极限定理近似用标准正态分布进行假设检验。小样本情形，若总体不是正态分布的，可以使用非参数检验的方法。非参数检验的效率稍差，但适应各种总体类型，应用范围较广。

3.3.1 符号检验

例3.2 已知原来工艺下生产的某种灯泡的中位数为800小时，现改进生产工艺，试产10只灯泡，实验得到每只寿命为：

775,816,834,836,858,863,873,877,885,901

问：新工艺生产的灯泡寿命中位数是否超过了800小时？

H₀：

一般情况下，灯泡寿命不是正态分布的，不能用例3.1的方法。符号检验使用的是计数统计量，先设

则有

即记录样本点中大于800的个数。若H₀成立，应该大约占样本容量的一半左右，若异常的大，说明备择假设H₁：成立。

H₀成立时，，可以利用二项分布构造拒绝域：

使得若H₀成立时

，

利用二项分布的分布律可以计算出临界值，用如下Matlab函数文件计算。

function t=bt(n,a)

SS=2^n*a;

S=0;

c=1;

k=n+1;

while S<=SS

k=k-1;

S=S+c;

c=c*k/(n-k+1);

end

t=k+1;

以上自定义函数扩展了Matlab的功能，可以替代教科书上的"符号检验临界值表"，并且可以使用任意的n及。

在例3.2中，，对于，使用命令t=bt(10,0.05)可以得到临界值9，临界值9，落在拒绝域内，故拒绝原假设，认为新工艺生产的灯泡寿命中位数超过了800小时。

只要去代替，也可以进行双侧符号检验。

例3.3 20个品酒师对A、B两种白酒进行品尝，有17个品酒师认为A品质好，3个品酒师认为B品质好，在的显著性水平下，检验两种白酒品质是否存在差异？

解 ，设原假设为

H₀：两种白酒品质无差异

令表示认为A品质好的品酒师的人数，则H₀成立时应该在10左右取值，如果值异常大，或者异常小，都说明两种白酒品质有差异。取临界值与，使得，，由于关于对称，故有，因此可用水平为的单侧检验求出临界值。命令

t2=bt(20,0.05/2)

得到，因此，此例中拒绝域为

，或者

落在拒绝域内，可以认为两种白酒品质有显著差异。

有些教科书中没有0.025的临界值，而我们的函数bt.m扩展了功能。

Matlab中有自带的SIGNTEST函数，可以直接用于符号检验。默认的检验是双侧的。

对于配对实验的两总体均值检验问题，也可用符号检验。

3.3.2 Wilcoxon秩和检验

我们要研究的问题是两总体均值的假设检验，设

，

要检验第二个总体是否有增加效应，即检验如下问题：

H₀： H₁：

Wilcoxon秩和检验的方法是：将两个样本混合为

混合之后样本容量为，每个样本点在样本中从小到大排列的名次称为该样本点的秩，用表示在混合样本中的秩，表示在混合样本中的秩，检验统计量为

例如诸为 1.1，3.3，5.5，7.7，诸为2.2，4.4，6.6，以下列表给出混合样本及秩

则。

若H₀成立，则的值应该适中。注意到每个秩序的平均值为，故H₀成立时，，的值在此值附近应该是正常的。若的值异常偏大，说明第二个总体确有增加效应。利用matlab自身的函数

p = ranksum(X,Y)

可以进行双侧的秩和检验。返回的p值小于给定的则拒绝原假设，认为H₁：成立。

H₀成立时，可以证明关于对称，要检验H₁：，只要判定，并且p = ranksum(X,Y)即可。

自定义rsum函数用于求

function W=rsum(x,y)

[s,t]=size(x);

m=max(s,t);

if t<m

x=x\';

end

[s,t]=size(y);

n=max(s,t);

N=m+n;

if t<n

y=y\';

end

xy=[x,y];

[z,I]=sort(xy);

W=0;

for i=1:N

if(I(i))>m

W=W+i;

end

end

为了求出Wilcoxon秩和检验的临界值，我们给出如下定理，证明参见文献[1]。

定理3.1 在H₀成立时，的概率分布为

其中表示从中取个数其和恰为的取法的个数。可用如下初始条件及递推公式计算：

当

自己编程tmnd.m计算如下：

function tmn=tmnd(m,n,d)

N=m+n;

nn=n*(n+1)/2;

NN=n*(2*m+n+1)/2;

if m<0 | n<0 | d<nn | d>NN

tmn=0;

elseif m>0 & n==0 & d==0

tmn=1;

elseif m>0 & n==0 & d>0

tmn=0;

elseif m==0 & n>0 & d==nn

tmn=1;

elseif m==0 & n>0 & d~nn

tmn=0;

else

T=zeros(m,n,NN);

for i=1:m

for k=1:i+1;

T(i,1,k)=1;

end

end

for j=1:n

kk=j*(j+1)/2;

KK=(j+1)*(j+2)/2-1;

for k=kk:KK

T(1,j,k)=1;

end

end

for i=2:m

for j=2:n

s=i+j;

for k=1:d

if k<=s

T(i,j,k)=T(i-1,j,k);

else

T(i,j,k)=T(i,j-1,k-s)+T(i-1,j,k);

end

end

end

end

tmn=T(m,n,d);

end

可以证明，H₀成立时，的概率分布关于E=n*(m+n+1)/2对称，我们给出单侧检验临界值的求法，以下自定义函数wr.m，其中输入参数m,n,alpha分别是对照组样本容量、实验组样本容量、检验的显著性水平，而输出值c表示右侧临界值，即满足的最小正整数。

function c=wr(m,n,alpha)

% return the min c such that P(W>=c)<=alpha

NN=n*(2*m+n+1)/2;

nn=n*(n+1)/2;

N=m+n;

E=n*(N+1)/2;

a=1;

for k=1:n

a=a*(N+1-k)/k;

end

Alpha=a*alpha;

k=nn;

P=0;

while P<Alpha

P=P+tmnd(m,n,k);

k=k+1;

end

c1=k-1;

c=2*E-c1;

上述函数可用于右侧检验。若左侧检验，c1=2*E-c即为左侧临界值。若双侧检验，先求出c2=wr(m,n,alpha/2)，再由c1=2*E-c2即可。

例3.4 某班级共15名同学，某次英语水平考试，分数如下：

男：53，55，59，65，71，77，81

女：56，62，68，76，84，86，90，96

在显著性水平下，能否认为女生英语水平高于男生？要求采用Wilcoxon秩和检验。

解 注意这是一个单侧检验问题，使用matlab命令：

x=[53,55,59,65,71,77,81]

y=[56,62,68,76,84,86,90,96]

rsum(x,y)

c=wr(7,8,0.05)

上述计算中，注意到rsum(x,y)=78，而临界值为c=78,的值落在拒绝域内，故可拒绝原假设，认为女生成绩显著高于男生。

3.3.3 Wilcoxon符号秩检验

设为来自连续总体的简单随机样本，关于点对称，检验假设

H₀： H₁：

Wilcoxon符号秩检验统计量为：

其中

，即把依照绝对值由小到大排列，的名次。

H₀成立时，，故在此值附近取值说明原假设成立。若异常大，则要拒绝原假设，说明H₁：成立。

对于双侧检验问题

H₀： H₁：

Matlab有自带的函数

p=signrank(x,m)

这里x为样本，m代表，若显著性水平为，则时拒绝原假设。

对于单侧检验，H₁：，要拒绝原假设需要同时满足两个条件：条件一，；条件二，p=signrank(x,m)<。为计算，自编函数：

function wp=rpsum(x,m);

n=length(x);

x=x-m;

y=abs(x);

[z,I]=sort(y);

wp=0;

for i=1:n

if x(I(i))>0

wp=wp+i;

end

end

保存了上述函数后，即可进行单侧检验。

例3.5 某班级共15名同学，某次英语水平考试，分数如下：

53，55，59，65，71，77，81，56，62，68，76，84，86，90，96

在显著性水平下，能否认为平均成绩高于60分？要求分别用：

（1）符号检验；（2）Wilcoxon符号秩检验。

解 注意这是一个单侧检验问题：

H₀： H₁：

使用matlab命令：

x=[53,55,59,65,71,77,81,56,62,68,76,84,86,90,96]

（1）符号检验

注意这里n=15,B=11,利用前面自定义的bt.m函数计算：

t=bt(15,0.05)

得到临界值，B=11<，没有落入拒绝域，故接受H₀，认为平均成绩没有明显高于60分。

（2）Wilcoxon符号秩检验

E=n*(n+1)/4,

wp=rpsum(x,60),

计算结果发现wp=106> E=60，满足单侧检验条件一，再计算

p=signrank(x,60)

结果得p=0.0071<2，故拒绝原假设，认为平均成绩明显高于60分。

3.4 检验的功效函数

为了简单起见，我们只讨论位置参数的单侧检验：

H₀： H₁：

其中为总体的中位数。

对于上述检验，当总体为方差已知正态总体时，有检验；当总体为方差未知正态总体时，有检验；当总体为连续对称总体时，有符号检验及Wilcoxon符号秩检验。自然有一个问题，如何评价不同的检验方法的优劣？

对于相同的样本容量，对于相同的显著性水平，一般比较区间时拒绝的概率，此时为犯第二类错误的概率。不同的检验方法犯第一类错误的概率已经被控制了，具有相同的水平，此时比较时的，小者为好；或者等价地说，比较时的，越大越好。

称，为检验的功效函数。功效大的检验就是好的检验。

以下画出正态总体方差已知时检验的功效函数。H₀时，不妨设总体服从标准正态分布，已知，均值用m表示。

以下固定样本容量n=20，固定显著性水平a=0.05，此时检验临界值为

u0=norminv(0.95)=1.6449。当m>0时，检验统计量为

容易计算

=1-normcdf(u0-m*sqrt(20))

以下利用Matlab作图功能画出此时的功效函数。

u0=norminv(0.95)

m=0:0.01:1;

w=1-normcdf(u0-m*sqrt(20));

plot(m,w)

结果如图3-1所示。

图图3-1 n=20，=0.05单侧检验功效函数

请读者自己研究，随着样本容量的增加，功效函数的图形会有怎样的变化？

注意，这是水平为的检验的出发点，类似于百米赛跑，此点是起跑点。如果相同起跑点，随着的增加，功效函数越来越大，对于两条功效函数曲线，在备择假设的范围内大者为佳。

上述功效函数容易得到精确的曲线，稍微复杂的情形，拒绝概率的精确值不易计算，可以使用随机模拟的方法得到功效函数。

例如，要研究t检验的功效函数、符号检验的功效函数、Wilcoxon符号秩检验的功效函数，并与检验的功效函数进行对比。首先固定如下四个因素：

（1）总体分布；

（2）样本容量；

（3）显著性水平a=0.05;

（4）取定

前三条都满足时，三种方法的临界值就完全确定了，拒绝域也完全确定了：

t检验：，拒绝域为t0=tinv(0.95,19)=1.7291；

符号检验：大于0样本点个数，拒绝域t=bt(20,0.05)=15；

Wilcoxon符号秩检验：拒绝域

为评价不同的检验，我们可以分别计算功效函数。这可以采用随机模拟的方法，利用万次随机试验中拒绝的频率近似代替拒绝概率。

以下命令文件保存为p123.m

m=0:0.1:1;

p1=zeros(1,11);

p2=zeros(1,11);

p3=zeros(1,11);

t0=tinv(0.95,19);

b0=15;

w0=150;

s20=sqrt(20);

N=10000;

for mm=1:11

for k=1:N

x=randn(1,20)+m(mm);

T=s20*mean(x)/std(x);

if T>=t0

p1(mm)=p1(mm)+1;

end

B=0;

for i=1:20

if x(i)>0

B=B+1;

end

end

if B>=b0

p2(mm)=p2(mm)+1;

end

wp=rpsum(x,0);

if wp>=w0

p3(mm)=p3(mm)+1;

end

end

p1(mm)=p1(mm)/N;

p2(mm)=p2(mm)/N;

p3(mm)=p3(mm)/N;

mm

end

P=[p1;p2;p3]

plot(m,p1,m,p2,m,p3)

计算结果为

P =

0.0482 0.1105 0.2100 0.3522 0.5304 0.6958 0.8292 0.9132 0.9609 0.9874 0.9953

0.0192 0.0460 0.0864 0.1619 0.2551 0.3775 0.5247 0.652