数学软件实训任务二

一 题目：MATLAB程序综合设计及应用

二 目的：熟练掌握MATLAB程序设计的基本方法，会根据MATLAB程序设计的

三 要求：

        1 熟练掌握控制流的基本语法结构。

　　 2 会熟练应用for循环，while循环及分支语句if …else和switch…case等进行混合编程，处理实际问题。

四 实训内容：

1 方程求根的二分法及程序设计

　　（1）方程求根的二分法的基本原理

取[a,b]的中点$\xi \displaystyle _{1}=\frac{a+b}{2}$，计算 $f(\xi _{1})$．

如果$f(\xi _{1})=0$；那么$\xi=\xi_{1}$；

如果 $f(\xi _{1})$与$f(a)$同号，那么取$a_{1}=\xi_{1}$，$b_{1}=b$，由$f(a_{1})*f(b_{1})<0$，即知$a_{1}<\xi <b_{1}$，且$b_{1}-a_{1}=\frac{b-a}{2}$；

如果$f(\xi _{1})$与$f(b)$同号，那么取$a_{1}=a,b_{1}=\xi _{1}$，由$f(a_{1})*f(b_{1})<0$，即知$a_{1}<\xi <b_{1}$，且$b_{1}-a_{1}=\frac{b-a}{2}$；

总之，当$\xi \neq \xi_{1}$时，可求得$a_{1}<\xi<b_{1}$，且$b_{1}-a_{1}=\frac{b-a}{2}$．

以[a1,b1]作为新的隔离区间，重复上述做法，当$\xi\neq\xi_{2}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}$时，可求得

$a_{2}<\xi <b_{2}$，且$b_{2}-a_{2}=\frac{b-a}{2^{2}}$．

如此重复n次，可求得$a_{n}<\xi<b_{n} $，$b_{n}-a_{n}=\frac{b-a}{2^{n}}$．由此可知，如果以$a_{n}$或$b_{n}$作为$\xi$的近似值，那么其误差小于$\frac {b-a} {2^{n}}$．如图14-23是二分法的原理示意图．

图 14-23  二分法原理示意图

二分法的优点是对函数的要求低（只要求满足零点定理的条件），方法简便、可靠，程序设计容易，事先估计次数容易，收敛速度恒定。

   （2）二分法程序设计

   （3）绘出函数$f(x)=x^{3}+1.1x^{2}+0.9x-1.4$的图像，找出根的隔离区间，然后用所编写的二分法程序求方程$f(x)=x^{3}+1.1x^{2}+0.9x-1.4=0$实根的近似值，使误差不超过$10^{-3}$．