专题六    数值微积分与方程求解

目录

一    数值微分与数值积分

1. 数值微分

2. 数值积分

二    线性方程组求解

一    数值微分与数值积分

1. 数值微分

先说差分。差分可以分为向前差分，向后差分和中心差分。三者分别如下表述：

• 向前差分：
• 向后差分：
• 中心差分：

MATLAB提供了求向前差分的函数diff，其调用格式有3种：

• dx = diff(x)：计算向量x的一阶向前差分。如果向量x有n个元素，那么向量dx有n-1个元素。dx(i) = x(i+1) - x(i)，其中i=1, 2, 3, ... , n-1。

举个例子：求向量[1, 34, 54, 32, 56, 78]的一阶向前差分。

• dx = diff(x, n)：计算向量x的n阶向前差分。例如，diff(x,2)等价于diff(diff(x))。
• dx = diff(A, n, dim)：计算矩阵A的n阶差分，默认dim=1。dim=1时，按列计算差分；dim=2时，按行计算差分。

2. 数值积分

MATLAB中提供了基于全局自适应积分方法的积分函数integral，其调用格式是：l = integral(filename, a, b)，其中，l表示计算得到的积分值；filename是被积函数名；a和b分别是定积分的下限和上限，积分限可以为无穷大（inf）。

此外，MATLAB中还有两种常用的积分函数：

• 基于自适应辛普森方法：[l, n] = quad(filename, a, b, tol, trace)
• 基于自适应Gauss-Lobatto方法：[l, n] = quadl(filename, a, b, tol, trace)

其中，filename是被积函数名；a和b分别是定积分的下限和上限，积分限[a, b]必须是有限的，不能为无穷大（inf）；tol用来控制积分精度，默认时取；trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，若取0则不展现积分过程，默认时取trace=0；返回参数中I表示定积分的值，n为被积函数的调用次数。

举个例子。

二    线性方程组求解

此处只举个简单的例子，更详细的用法待使用时再具体了解。总的来说，线性方程组求解的方法主要有直接法和迭代法。

用直接法求解下列线性方程组。

代码如下：