3.2.1  函数计算器

函数  funtool

格式  funtool   %该命令将生成三个图形窗口，Figure No.1用于显示函数f的图形，Figure No.2用于显示函数g的图形，Figure No.3为一可视化的、可操作与显示一元函数的计算器界面。在该界面上由许多按钮，可以显示两个由用户输入的函数的计算结果：加、乘、微分等。funtool还有一函数存储器，允许用户将函数存入，以便后面调用。在开始时，funtool显示两个函数f(x) = x与g(x) = 1在区间[-2*pi, 2*pi]上的图形。Funtool同时在下面显示一控制面板，允许用户对函数f、g进行保存、更正、重新输入、联合与转换等操作。

输入命令funtool后，生成的界面如下：

 

图3-1  函数工具funtool界面

 

                 

 

    

图3-2  函数f的图形                                                    图3-3  函数g的图形

说明  文本输入框区域：控制面板的上面几行，可以输入文本；

f = ：显示代表函数f的符号表达式，可在该行输入其他有效的表达式来定义f，再按回车键即可在Figure No.1中画出图形；

g = ：显示代表函数g的符号表达式，可在该行输入其他有效的表达式来定义g，再按回车键即可在Figure No.2中画出g图形；

x = ：显示用于画函数f与g的区间。可在该行输入其他的不同区间，再按回车键即可改变Figure No.1与Figure No.2中的区间；

a = ：显示一用于改变函数f的常量因子(见下面的操作按钮)。可在该行输入不同的常数。

控制按钮区域：该区域有一些按钮，按下它们将对函数f转换成不同的形式与执行不同的操作。

df/dx：函数f的导数；

int f：函数f的积分(没有常数的一个原函数)，当函数f的原函数不能用初等函数表示时，操作可能失败；

simple f：化简函数f（若有可能）；

num f：函数f 的分子；

den f：函数f的分母；

1/f：函数f的倒数；

finv：函数f的反函数，若函数f 的反函数不存在，操作可能失败；

f+a：用f(x)+a代替函数f(x)；

f-a：用f(x)-a代替函数f(x)；

f*a：用f(x)+a代替函数f(x)；

f/a：用f(x)/a代替函数f(x)；

f^a：用f(x)^a代替函数f(x)；

f(x+a)：用f(x+a)代替函数f(x)；

f(x*a)：用f(x-a)代替函数f(x)；

f+g：用f(x)+g(x)代替函数f(x)；

f-g：用f(x)-g(x)代替函数f(x)；

f*g：用f(x)*g(x)代替函数f(x)；

f/g：用f(x)/g(x)代替函数f(x)；

g=f：用函数f(x)代替函数g(x)；

swap：函数f(x)与g(x)互换；

Insert：将函数f(x)保存到函数内存列表中的最后；

Cycle：用内存函数列表中的第二项代替函数f(x)；

Delete：从内存函数列表中删除函数f(x)；

Reset：重新设置计算器为初始状态；

Help：显示在线的关于计算器的帮助；

Demo：运行该计算器的演示程序；

Close：关闭计算器的三个窗口。

 

3.2.2  微积分

命令1  极限

函数  limit

格式  limit(F,x,a)   %计算符号表达式F=F(x)的极限值，当x→a时。

limit(F,a)     %用命令findsym(F)确定F中的自变量，设为变量x，再计算F的极限值，当x→a时。

limit(F)      %用命令findsym(F)确定F中的自变量，设为变量x，再计算F的极限值，当x→0时。

limit(F,x,a,\'right\')或limit(F,x,a,\'left\')   %计算符号函数F的单侧极限：左极限x→a- 或右极限x→a+。

例3-25

>>syms x a t h n; 

>>L1 = limit((cos(x)-1)/x)

>>L2 = limit(1/x^2,x,0,\'right\')

>>L3 = limit(1/x,x,0,\'left\')

>>L4 = limit((log(x+h)-log(x))/h,h,0)

>>v = [(1+a/x)^x, exp(-x)];

>>L5 = limit(v,x,inf,\'left\')

>>L6 = limit((1+2/n)^(3*n),n,inf)

计算结果为：

L1 =

     0

L2 =

     inf

L3 =

     -inf

L4 =

     1/x

L5 =

     [ exp(a),      0]

L6 =

     exp(6)

命令2  导数（包括偏导数）

函数  diff

格式  diff(S,\'v\')、diff(S,sym(\'v\'))   %对表达式S中指定符号变量v计算S的1阶导数。

      diff(S)   %对表达式S中的符号变量v计算S的1阶导数，其中v=findsym(S)。

      diff(S,n)   %对表达式S中的符号变量v计算S的n阶导数，其中v=findsym(S)。

      diff(S,\'v\',n)   %对表达式S中指定的符号变量v计算S的n阶导数。

例3-26

>>syms x y t

>>D1 = diff(sin(x^2)*y^2,2)  %计算

>>D2 = diff(D1,y)  %计算

>>D3 = diff(t^6,6)

计算结果为：

D1 =

     -4*sin(x^2)*x^2*y^2+2*cos(x^2)*y^2

D2 = 

     -8*sin(x^2)*x^2*y+4*cos(x^2)*y

D3 =

     720

命令3  符号函数的积分

函数  int

格式  R = int(S,v)   %对符号表达式S中指定的符号变量v计算不定积分。注意的是，表达式R只是函数S的一个原函数，后面没有带任意常数C。

R = int(S)  %对符号表达式S中的符号变量v计算不定积分，其中v=findsym(S)。

R = int(S,v,a,b)   %对表达式s中指定的符号变量v计算从a到b的定积分

R = int(S,a,b)     %对符号表达式s中的符号变量v计算从a到b的定积分，其中v=findsym(S)。

例3-27

>>syms x z t alpha

>>INT1 = int(-2*x/(1+x^3)^2)

>>INT2 = int(x/(1+z^2),z)

>>INT3 = int(INT2,x)

>>INT4 = int(x*log(1+x),0,1) 

>>INT5 = int(2*x, sin(t), 1) 

>>INT6 = int([exp(t),exp(alpha*t)])

计算结果为：

INT1 =

      -2/9/(x+1)+2/9*log(x+1)-1/9*log(x^2-x+1)-2/9*3^(1/2)*atan(1/3*(2*x-1)*… 3^(1/2))-2/9*(2*x-1)/(x^2-x+1)

INT2 =

       x*atan(z)

INT3 =

       1/2*x^2*atan(z)

INT4 =

       1/4

INT5 =

       1-sin(t)^2

INT6 =

       [ exp(t), 1/alpha*exp(alpha*t)]

命令4  常微分方程的符号解

函数  dsolve

格式  r = dsolve(\'eq1,eq2,…\',\'cond1,cond2,…\',\'v\')

说明  对给定的常微分方程（组）eq1,eq2,…中指定的符号自变量v，与给定的边界条件和初始条件cond1,cond2,….求符号解（即解析解）r；若没有指定变量v，则缺省变量为t；在微分方程（组）的表达式eq中，大写字母D表示对自变量(设为x)的微分算子：D=d/dx，D2=d2/dx2，…。微分算子D后面的字母则表示为因变量，即待求解的未知函数。初始和边界条件由字符串表示：y(a)=b，Dy(c)=d，D2y(e)=f，等等，分别表示，，；若边界条件少于方程（组）的阶数，则返回的结果r中会出现任意常数C1，C2，…；dsolve命令最多可以接受12个输入参量（包括方程组与定解条件个数，当然我们可以做到输入的方程个数多于12个，只要将多个方程置于一字符串内即可）。若没有给定输出参量，则在命令窗口显示解列表。若该命令找不到解析解，则返回一警告信息，同时返回一空的sym对象。这时，用户可以用命令ode23或ode45求解方程组的数值解。

例3-28

>>D1 = dsolve(\'D2y – Dy =exp(x)\') 

>>D2 = dsolve(\'t*D2f = Df*log((Dy)/t)\') 

>>D3 = dsolve(\'(Dy)^2 + y^2 = 1\',\'s\') 

>>D4 = dsolve(\'Dy = a*y\', \'y(0) = b\')  % 带一个定解条件

>>D5 = dsolve(\'D2y = -a^2*y\', \'y(0) = 1\', \'Dy(pi/a) = 0\')  % 带两个定解条件

>>[x,y] = dsolve(\'Dx = y\', \'Dy = -x\')  % 求解线性微分方程组

>>[u,v] = dsolve(‘Du=u+v,Dv=u-v’)

计算结果为：

D1 =

     -exp(x)*t+C1+C2*exp(t)

D2 =

     y(t)=Int(exp(t*diff(f(t),`$`(t,2))/diff(f(t),t))*t,t)+C1

D3 =

     [        -1]

     [        1]

     [  sin(s-C1)]

     [ -sin(s-C1)]

D4 =

     b*exp(a*t)

D5 =

     cos(a*t)

x = 

     cos(t)*C1+sin(t)*C2 

y =

     -sin(t)*C1+cos(t)*C2

u = 

    1/2*C1*exp(2^(1/2)*t) - 1/4*C1*2^(1/2)*exp(-2^(1/2)*t) + 1/4*C1*2^(1/2) *exp (2^(1/2)*t) + 1/2*C1*exp(-2^(1/2)*t) - 1/4*C2*2^(1/2)*exp(-2^(1/2)*t) +   1/4*C2 *2^(1/2)*exp(2^(1/2)*t)

v = 

   -1/4*C1*2^(1/2)*exp(-2^(1/2)*t)+1/4*C1*2^(1/2)*exp(2^(1/2)*t)+1/2*C2*exp

         (2^(1/2)*t)+1/4*C2*2^(1/2)*exp(-2^(1/2)*t)-1/4*C2*2^(1/2)*exp(2^(1/2)*t)+  1/2*C2*exp(-2^(1/2)*t)

3.2.3  符号函数的作图

命令1  画符号函数的等高线图

函数  ezcontour

格式  ezcontour(f)   %画出二元符号函数f=f(x,y)的等高线图。函数f将被显示于缺省的平面区域[-2π<x<2π，-2π<y<2π]内。系统将根据函数变动的激烈程度自动选择相应的计算栅格。若函数f在某些栅格点上没有定义，则这些点将不显示。

ezcontour(f,domain)   %在指定的定义域domain内画出二元函数f(x,y)，参量domain可以是四维向量[xmin,xmax,ymin,ymax]或二维向量[min,max]（其中显示区域为：min<x<max，min<y<max）。

ezcontour(…,n)   %用指定n*n个栅格点（对定义域的一种划分），在缺省（若没有指定）的区域内画出函数f的图形。n的缺省值为60。

说明  该命令用函数表达式作为标题显示，同时显示坐标轴的恰当的刻度标签。

例3-29

>>syms x y

>>f = (1-x)^2*exp(-(x^2)-(y+1)^2)-5*(x/5-x^3-y^5)*sin(-x^2-y^2)-1/3*exp(-(x+1)^2-y^2);

     ezcontour(f,[-3,3],49)

图形结果为图3-4。

 

 

 

命令2  用不同颜色填充的等高线图

函数  ezcontourf

格式  ezcontourf(f)   %画出二元符号函数f=f(x,y)的等高线图，且在不同的等高线之间自动用不同的颜色进行填充。函数f将被显示于缺省的平面区域[-2π<x<2π,-2π<y<2π]内。系统将根据函数变动激烈程度自动选择相应的计算栅格。若函数f在某些栅格点上没有定义，则这些点将不显示。

ezcontourf(f,domain)   %在指定的定义域domain内画出二元函数f(x,y)的等高线图，且在不同的等高线之间自动用不同的颜色进行填充。定义域domain可以是四维向量[xmin,xmax,ymin,ymax]或二维向量[min,max]（其中显示区域为：min<x<max，min<y<max）。

ezcontourf(…,n)   %用指定n*n个栅格点（对定义域的一种划分），在缺省（若没有指定）的区域内画出函数f的等高线图，且在不同的等高线之间自动用不同的颜色进行填充。n的缺省值为60。

例3-30

>>syms x y

>>f = (1-x)^2*exp(-(x^2)-(y+1)^2)-5*(x/5-x^3-y^5)*sin(-x^2-y^2)-1/3*exp(-(x+1)^2-y^2);

ezcontourf(f,[-3,3],64)

图形结果为图3-5。

  

   

图3-4  等高线图                               图3-5  等高线填充图

命令3  符号函数的三维网格图

函数  ezmesh

格式  ezmesh(f)   %画出二元数学符号函数f=f(x,y)的网格图。函数f将显示于缺省的平面区域[-2π<x<2π，-2π<y<2π]内。系统将根据函数变动的激烈程度自动选择相应的计算栅格。若函数f在某些栅格点上没有定义，则这些点将不显示。

ezmesh(f,domain)   %在指定的定义域domain内画出二元函数f(x,y)的网格图，定义域domain可以是四维向量[xmin,xmax,ymin,ymax]或二维向量[min,max]（其中显示区域为：min<x<max，min<y<max）。

ezmesh(x,y,z)    %在缺省的矩形定义域范围[-2π<s<2π,-2π<t<2π]内画参数形式函数x=x(s,t)、y=y(s,t)、z=z(s,t)的二元函数z=f(x,y)的网格图。

ezmesh(x,y,z,[smin,smax,tmin,tmax])  %在指定的矩形定义域范围[smin<s<smax，min<t<tmax]内画参数形式函数x=x(s,t)、y=y(s,t)、z=z(s,t)的二元函数z=f(x,y)的网格图。

ezmesh(x,y,z,[min,max])   %用指定的矩形定义域[min<x<max,min<y<max]画出函数z=f(x,y)的网格图。

ezmesh(f,…,n)   %用指定n*n个栅格点，在缺省（若没有指定）的区域内画出函数f网的图形。n的缺省值为60。

ezmesh(…,\'circ\')   %在一圆形区域（圆心位于定义域在中心）的范围内画出函数f的网格图形。

例3-31

>>syms x y

>>ezmesh(x*sin(-x^2-y^2),40,’circ’)

>>colormap [0 0 1]

图形结果为：（图3-6）

命令4  同时画出曲面网格图与等高线图

函数  ezmeshc

格式  ezmeshc(f)   %画出二元数学符号函数z=f(x,y)的网格图形，同时在xy平面上显示其等高线图。函数f将被显示于缺省的平面区域[-2π<x<2π,-2π<y<2π]内。系统将根据函数变动的激烈程度自动选择相应的计算栅格。若函数f在某些栅格点上没有定义，则这些点将不显示。

ezmeshc(f,domain)   %在指定的定义域domain内画出二元函数f(x,y)的网格图及其等高线图，domain可以是四维向量[xmin,xmax,ymin,ymax]或二维向量[min,max](其中显示区域为：min<x<max，min<y<max)。

ezmeshc(x,y,z)   %在缺省的矩形定义域范围[-2π<s<2π,-2π<t<2π]内画出参数形式函数x=x(s,t)、y=y(s,t)、z=z(s,t)的二元函数z=f(x,y)的网格图形与其等高线图。

ezmeshc(x,y,z,[smin,smax,tmin,tmax])   %在指定的矩形定义域范围[smin<s<smax，tmin<t<tmax]内画出参数形式函数x=x(s,t)、y=y(s,t)、z=z(s,t)的二元函数z=f(x,y)的网格图形与其等高线图。

ezsurfc(x,y,z,[min,max])   %用指定的定义域[min<x<max,min<y<max]画出函数z=f(x,y)的网格图与等高线图。

ezmeshc(f,…,n)   %用指定n*n个栅格点，在缺省（若没有指定）的区域内画出函数f的网格图形与等高线图。n的缺省值为60。

ezmeshc(…,\'circ\')   %在一圆形区域（圆心位于定义域在中心）的范围内画出函数f的网格图形及其等高线图。

例3-32

>>syms x y

>>ezmeshc(x*y/(1 + x^2 + y^2),[-5,5,-2*pi,2*pi],35)

图形结果为图3-7。

    

  

 

 

图3-6  三维网格图                                                图3-7  网格等高线图

命令5  画符号函数的图形

函数  ezplot

格式  ezplot(f)   %对于显式函数f=f(x)，在缺省的范围[-π<x<π]上画函数f(x)；对于隐函数f=f(x,y)，在缺省的平面区域[-2π<x<2π，-2π<y<2π]上画函数f(x,y)的图形。

ezplot(f,[min,max])   %在指定的范围[min<x<max]内画函数表达式f=f(x)。若没有图形窗口存在，则该命令先生成标题为Figure No.1的新窗口，再在该窗口中操作；若已经有图形窗口存在，则在标号最高的图形窗口中进行操作。

ezplot(f,[xmin xmax],fign)   %在指定标号fign的窗口中、指定的范围[xmin xmax]内画出函数f=f(x)的图形。

ezplot(f,[xmin,xmax,ymin,ymax])   %在平面矩形区域[xmin<x<xmax, ymin<y <ymax]上画出函数f(x,y)=0的图形。

ezplot(x,y)   %在缺省的范围0<t<2π内画参数形式函数x=x(t)与y=y(t)的图形。

ezplot(x,y,[tmin,tmax])   %在指定的范围[tmin < t < tmax]内画参数形式函数x=x(t)与y=y(t)的图形。

ezplot(…,figure)   %在由参量figure句柄指定的图形窗口中画函数图形。

例3-33

>>syms x y

>>ezplot(x^6-y^2)

图形结果为图3-8。

例3-34

>>syms x

>>ezplot(exp(x)*sin(x)/x)

>>grid on

图形结果为图3-9。

命令6  三维参量曲线图

函数  ezplot3

格式  ezplot3(x,y,z)   %在缺省的范围0<t<2π内画空间参数形式的曲线x=x(t)、y=y(t)与z=z(t)的图形。

ezplot3(x,y,z,[tmin,tmax])   %在指定的范围tmin < t < tmax.内画空间参数形式的曲线x=x(t)、y=y(t)与z=z(t)的图形。

ezplot3(…,\'animate\')   %以动画形式画出空间三维曲线。

 

      

 

    

图3-8  隐函数图                                      图3-9  显函数图

例3-35

>>syms t; 

>>ezplot3(t*sin(t), t*cos(t), t,[0,20*pi])

图形结果为图3-10。

命令7  画极坐标图形

函数  ezpolar

格式  ezpolar(f)   %在缺省的范围0<theta<2π内画极坐标函数rho=f(theta)的图形。且将函数关系式显示于图形下方。

ezpolar(f,[a,b])   %在指定的范围a<theta<b内画极坐标函数rho=f(theta)的图形。且将函数关系式显示于图形下方。

例3-36

>>syms t

>>ezpolar(1+cos(5*t))

图形结果为图3-11。

 

         

 

    

图3-10  三维曲线图                                          图3-11   极坐标图

命令8  三维带颜色的曲面图

函数  ezsurf

格式  ezsurf(f)   %画出二元数学符号函数z=f(x,y)的曲面图形。函数f将显示于缺省的平面区域[-2π<x<2π，-2π<y<2π]内。系统将根据函数的变动程度自动选择相应的计算栅格。若函数f在栅格点上没有定义，则这些点将不显示。

ezsurf(f,domain)   %在指定的定义域domain内画出二元函数f(x,y)的曲面图形，domain可以是四维向量[xmin,xmax,ymin,ymax]，或者是二维向量[min,max] (其中有min<x<max，min<y<max)。

ezsurf(x,y,z)   %在缺省的矩形定义域范围-2π<s<2π，-2π<t<2π内画出参数形式函数x=x(s,t)、y=y(s,t)与z=z(s,t)的曲面图形。

ezsurf(x,y,z,[smin,smax,tmin,tmax])或ezsurf(x,y,z,[min,max])   %用指定的定义域画出参数形式的曲面图形

ezsurf(…,n)   %用指定n*n个栅格点，在缺省（若没有指定）的区域内画出函数f的图形，n的缺省值为60。

ezsurf(…,\'circ\')   %在一圆形中心位于定义域在中心的范围内画出函数f的曲面图形

例3-37

>>syms x y

>>ezsurf(real(atan(x+i*y)))

图形结果为图3-12。

命令9  同时画出曲面图与等高线图

函数  ezsurfc

格式  ezsurfc(f)   %画出二元数学符号函数z=f(x,y)的曲面图形与其等高线图。函数f将显示于缺省的平面区域[-2π<x<2π，-2π<y<2π]内。系统将根据函数的变动程度自动选择相应的计算栅格。若函数f在栅格点上没有定义，则这些点将不显示。

ezsurfc(f,domain)   %在指定的定义域domain内画出二元函数f(x,y)的曲面图形及其等高线图，domain可以是四维向量[xmin,xmax,ymin,ymax]或二维向量[min,max](其中有min<x<max，min<y<max)。

ezsurfc(x,y,z)   %在缺省的矩形定义域范围-2π<s<2π，-2π<t<2π内画出参数形式函数x=x(s,t)、y=y(s,t)与z=z(s,t)的曲面图形与等高线图。

ezsurfc(x,y,z,[smin,smax,tmin,tmax])或ezsurfc(x,y,z,[min,max])   %用指定的定义域画出参数形式的曲面图形与等高线图

ezsurfc(…,n)   %用指定n*n个栅格点，在缺省（若没有指定）的区域内画出函数f的曲面图形与等高线图，n的缺省值为60。

ezsurfc(…,\'circ\')   在一圆形中心位于定义域的中心范围内画出函数f的曲面图形与等高线图

例3-38

>>syms x y

>>ezsurfc(x*y/(1 + x^2 + y^2),[-5,5,-2*pi,2*pi],35,’circ’)

图形结果为图3-13。

 

                 

 

     

图3-12  三维曲面图                                     图3-13  三维曲面等高线图

3.2.4  积分变换

命令1  Fourier积分变换

函数  fourier

格式  F = fourier(f)   

说明  对符号单值函数f中的缺省变量x（由命令findsym确定）计算Fourier变换形式。缺省的输出结果F是变量w的函数：

若f = f(w)，则fourier(f)返回变量为t的函数：F= F(t)。

F = fourier(f,v) 对符号单值函数f中的指定变量v计算Fourier变换形式：

 

F = fourier(f,u,v) 令符号函数f为变量u的函数，而F为变量v的函数：

例3-39

>>syms x w u v

>>f = sin(x)*exp(-x^2); F1 = fourier(f) 

>>g = log(abs(w)); F2 = fourier(g) 

>>h = x*exp(-abs(x)); F3 = fourier(h,u) 

>>syms x real

>>k = cosh(-x^2*abs(v))*sinh(u)/v

>>F4 = fourier(k,v,u)

计算结果为：

F1 =

     -1/2*i*pi^(1/2)*exp(-1/4*(w-1)^2)+1/2*i*pi^(1/2)*exp(-1/4*(w+1)^2)

F2 =

     fourier(log(abs(w)),w,t)

F3 =

    -4*i/(1+u^2)^2*u

F4 =

     sinh(u)*(1/2*fourier(1/v*exp(x^2*abs(v)),v,u)-i*atan(u/x^2))

命令2  逆Fourier积分变换

函数  ifourier

格式  f = ifourier(F)  

说明  输出参量f = f(x)为缺省变量w的标量符号对象F的逆Fourier积分变换。即：F = F(w) → f = f(x)。若F = F(x)，ifourier(F)返回变量t的函数：即：F = F(x) → f = f(t)。逆Fourier积分变换定义为：

f = ifourier(F,u) 使函数f为变量u（u为标量符号对象）的函数：

f = ifourier(F,v,u) 使F为变量v的函数，f为变量u的函数：

例3-40

>>syms w v x t

>>syms a real

>>f = sqrt(exp(-w^2/(4*a^2)));

>>IF1 = ifourier(f)

>>g = exp(-abs(x));

>>IF2 = ifourier(g)

>>h = sinh(-abs(w)) – 1;

>>IF3 = simple(ifourier(h,t))

>>syms w real

>>k = exp(-w^2*abs(v))*sin(v)/v;

>>IF4 = ifourier(k,v,t)

计算结果为：

IF1 =

     ifourier(exp(-1/4*w^2/a^2)^(1/2),w,x)

IF2 =

     1/(1+t^2)/pi

IF3 =

    -1/2*(pi*ifourier(exp(abs(w)),w,t)+pi*ifourier(exp(abs(w)),w,t)*t^2-…  1+2*pi*Dirac(t))/(1+t^2)/pi

IF4 =

     1/2*(atan((t+1)/w^2)-atan((t-1)/w^2))/pi

命令3  Laplace变换

函数  laplace

格式  L = laplace(F) 

说明  输出参量L = L(s)为有缺省符号自变量t的标量符号对象F的Laplace变换。即：F = F(t) → L = L(s)。若F = F(s)，则fourier(F)返回变量为t的函数L。

即：F = F(s) → L = L(t)。Laplace变换定义为：

laplace(F,t) 使函数L为变量t（t为标量符号自变量）的函数：

fourier(F,w,z) 使L为变量z的函数，F为变量w的函数：

例3-41

>>syms x s t v

>>f1= sqrt(t); 

>>L1 = laplace(f) 

>>f2 = 1/sqrt(s); 

>>L2 = laplace(f2) 

>>f3 = exp(-a*t); 

>>L3 = laplace(f3,x) 

>>f4 = 1 - sin(t*v); 

>>L4 = laplace(f4,v,x)

计算结果为：

L1 =

     1/(s-1/s^2)

L2 =

     (pi/t)^(1/2)

L3 =

     1/(x+a)

L4 =

     1/x-t/(x^2+t^2)

命令4  逆Laplace变换

函数  ilaplace

格式  F = ilaplace(L)

说明  输出参量F = F(t)为缺省变量s的标量符号对象L的逆Laplace变换

即：F = F(w) → f = f(x)。若L = L(t)，则ifourier(L)返回变量为x的函数F。即：F = F(x) → f = f(t)。逆Laplace变换定义为：

其中c为使函数L(s)的所有的奇点位于直线s = c左边的实数。

F = ilaplace(L,y) 使函数F为变量y（y为标量符号对象）的函数：

F = ilaplace(L,y,x) 使F为变量x的函数，L为变量y的函数：

例3-42

>>syms a s t u v x

>>f = exp(x/s^2); 

>>IL1 = ilaplace(f) 

>>g = 1/(t-a)^2; 

>>IL2 = ilaplace(g)

>>k = 1/(u^2-a^2); 

>>IL3 = ilaplace(k,x)

>>y = s^3*v/(s^2+v^2); 

>>IL4 = ilaplace(y,v,x)

计算结果为：

IL1 =

      ilaplace(exp(x/s^2),s,t)

IL2 =

      x*exp(a*x)

IL3 =

     1/(-a^2)^(1/2)*sin((-a^2)^(1/2)*x)

IL4 =

     s^3*cos((s^2)^(1/2)*x)

命令5  Riemann ζ-函数

函数  zeta

格式  Y = zeta(X)   %计算数值矩阵、或符号矩阵参量x中每一元素的ζ-函数值。ζ-函数定义为：