1. 注意事项
一元线性回归模型对异常值比较敏感，应考虑在生成方程前对数据进行预处理。
对于回归分析的相关定义，请参考：
2. MATLAB中的相关函数
直接使用regress函数或polyfit函数都可直接获得表示预测变量与响应变量线性关系的方程的系数
2.1 regress函数
函数说明：多元线性回归函数
详细说明请参考：
https://ww2.mathworks.cn/help/stats/regress.html
[b,bint,r,rint,status] = regress(Y,X,alpha);
等式右边：
- Y——响应变量数据( n×1 数值向量 )
- X——预测变量数据( n×p 数值矩阵。X 的行对应于各个观测值，列对应于预测变量 )
- alpha——显著性水平
等式左边：
- b——系数估计值( p×1 向量，其中 p 是 X 中预测变量的数目 )
- bint——系数估计值的置信区间 ( 置信边界下限和置信边界上限 )( p×2 矩阵，其中 p 是 X 中预测变量的数目 )
- r——残差( p×1 向量，其中 p 是 X 中预测变量的数目 )
- rint——残差的置信区间( 诊断离群值的区间 )( p×2 矩阵，其中 p 是 X 中预测变量的数目 )
参数说明：
- 如果status中的第一个参数R^2接近于1且第三个参数P值小于0.05，则响应Y和X中的预测变量之间存在显著的线性回归关系
- 如果观测值 i 的 rint(i,:) 区间不包含零，即表明存在离群值
使用示例：
% 女子身高和腿长数据 height = [143;145;146;147;149;150;153;154;155;156;157;158;159;160;162;164]; leg_length = [88;85;88;91;92;93;93;95;96;98;97;96;98;99;100;102]; % 使用身高预测腿长(X是固定格式) X=[height,ones(length(height),1)]; Y=leg_length; alpha = 0.05;
% 注意regress函数中的预测变量和响应变量必须是列向量 [b,bint,r,rint,status] = regress(Y,X,alpha)
函数说明：多项式曲线拟合函数
详细说明请参考：
https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/polyfit.html
常用方式：
[p,S] = polyfit(X,Y,degree);
等式右边：
- X——预测变量数据( 列向量 )
- Y——响应变量数据( 列向量 )
- degree——多项式p的次数( 多项式拟合的次数 )( >0 )
等式左边：
- p——最小二乘拟合多项式系数( 长度为 n+1，包含按降幂排列的多项式系数，最高幂为 n )
- S——误差估计结构体
参数说明：
使用示例：
% 女子身高和腿长数据 height = [143;145;146;147;149;150;153;154;155;156;157;158;159;160;162;164]; leg_length = [88;85;88;91;92;93;93;95;96;98;97;96;98;99;100;102]; degree = 1; [p,S] = polyfit(height,leg_length,degree);
2.3 polyconf函数
函数说明：计算多项式的置信区间函数
详细说明请参考：
https://ww2.mathworks.cn/help/stats/polyconf.html
常用方式：
[Y1,DELTA1] = polyconf(p,xdata,S,\'predopt\',\'observation\');
[Y2,DELTA2] = polyconf(p,xdata,S,\'alpha\',alpha,\'predopt\',\'curve\');
等式右边：
- p——最小二乘拟合多项式系数
- xdata——预测变量数据( 列向量 )
- S——误差估计结构体
- \'predopt\'—— \'observation\' (默认值)用于计算X值处的新观测值的预测区间，或 \'curve\' 用于计算X值处的拟合值的置信区间
等式左边：
- Y——在 x 中的每个点处计算多项式 p 所得的新观测值( 拟合值 )
- DELTA——当输入参数 \'predopt\' 的值为 \'observation\' 时，得到的是用于计算X值处的新观测值的预测区间；当输入参数 \'predopt\' 的值为 \'curve\' 时，得到的是用于计算X值处的拟合值的置信区间
说明：
预测区间和置信区间的相关概念请参考百度百科和：
https://www.zhihu.com/question/263893098
使用示例：
% 女子身高和腿长数据 height = [143;145;146;147;149;150;153;154;155;156;157;158;159;160;162;164]; leg_length = [88;85;88;91;92;93;93;95;96;98;97;96;98;99;100;102]; % xdata将预测变量以列向量的形式表示
xdata = reshape(height,[length(height),1]); alpha = 0.05; % 设定多项式的次数 degree = 1; % 多项式曲线拟合a=polyfit(x,y,n): x是预测变量,y是响应变量,a是次数为n的多项式的系数 [p,S] = polyfit(height,leg_length,degree); % 输出S(误差估计结构体)给出Y的95%预测区间Y±DELTA [Y1,DELTA1] = polyconf(p,xdata,S,\'alpha\',alpha,\'predopt\',\'observation\'); % 输出S(误差估计结构体)给出Y的95%置信区间Y±DELTA [Y2,DELTA2] = polyconf(p,xdata,S,\'alpha\',alpha,\'predopt\',\'curve\');
2.4 polyval函数
函数说明：多项式计算函数
详细说明请参考：
https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/polyval.html#d120e898668
常用方式：
[y,delta] = polyval(p,x,S)
等式右边：
- p——最小二乘拟合多项式系数( 长度为 n+1，包含按降幂排列的多项式系数，最高幂为 n )
- x——预测变量数据( 列向量 )
- S——误差估计结构体
等式左边：
- y——在 x 中的每个点处计算多项式 p 所得的结果
- delta——预测的标准误差，以标量形式返回。通常，区间 y ± Δ 对应于大型样本的未来观测值约 68% 的预测区间，y ± 2Δ 对应于约 95% 的预测区间
使用示例：
% 女子身高和腿长数据 height = [143;145;146;147;149;150;153;154;155;156;157;158;159;160;162;164]; leg_length = [88;85;88;91;92;93;93;95;96;98;97;96;98;99;100;102]; % 设定多项式的次数 degree = 1; [p,S] = polyfit(height,leg_length,degree); % 多项式曲线拟合的响应值数组 [preresult,delta]=polyval(p,height,S);
3. 散点图+趋势线+95%预测区间 或 95%置信区间
使用示例：
% 输出S(误差估计结构体)给出Y的95%预测区间Y±DELTA
[Y1,DELTA1] = polyconf(p,xdata,S,\'alpha\',alpha,\'predopt\',\'observation\');
hold on; plot(height,leg_length,\'k+\',height,preresult,\'r\'); % 95%预测区间 plot(xdata,Y1+DELTA1,\'b--\'); plot(xdata,Y1-DELTA1,\'b--\'); legend(\'Data\',\'Linear Fit\',\'95% Prediction Interval\'); xlabel(\'身高\'); ylabel(\'腿长\'); hold off;
% 输出S(误差估计结构体)给出Y的95%置信区间Y±DELTA
[Y2,DELTA2] = polyconf(p,xdata,S,\'alpha\',alpha,\'predopt\',\'curve\');
hold on; plot(height,leg_length,\'k+\',height,preresult,\'r\'); % 95%置信区间 plot(xdata,Y2+DELTA2,\'b--\'); plot(xdata,Y2-DELTA2,\'b--\'); legend(\'Data\',\'Linear Fit\',\'95% Confidence Interval\'); xlabel(\'身高\'); ylabel(\'腿长\'); hold off;
% 女子身高和腿长数据 height = [143;145;146;147;149;150;153;154;155;156;157;158;159;160;162;164]; leg_length = [88;85;88;91;92;93;93;95;96;98;97;96;98;99;100;102]; % 使用身高预测腿长(X是固定格式) X=[height,ones(length(height),1)]; Y=leg_length; alpha = 0.05; [b,bint,r,rint,status] = regress(Y,X,alpha); % 通过计算不包含 0 的残差区间 rint 来诊断离群值。 contain0 = (rint(:,1)<0 & rint(:,2)>0); idx = find(contain0==false); hold on scatter(Y,r); % 填充离群值对应的点 scatter(Y(idx),r(idx),\'b\',\'filled\'); xlabel(\'腿长\'); ylabel(\'残差\'); hold off
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