特征值分解

函数 eig

格式 d = eig(A)         %求矩阵A的特征值d，以向量形式存放d。

d = eig(A,B)       %A、B为方阵，求广义特征值d，以向量形式存放d。

[V,D] = eig(A)      %计算A的特征值对角阵D和特征向量V，使AV=VD成立。

[V,D] = eig(A,\'nobalance\')   %当矩阵A中有与截断误差数量级相差不远的值时，该指令可能更精确。\'nobalance\'起误差调节作用。

[V,D] = eig(A,B)    %计算广义特征值向量阵V和广义特征值阵D，满足AV=BVD。

[V,D] = eig(A,B,flag)   % 由flag指定算法计算特征值D和特征向量V，flag的可能值为：\'chol\' 表示对B使用Cholesky分解算法，这里A为对称Hermitian矩阵，B为正定阵。\'qz\' 表示使用QZ算法，这里A、B为非对称或非Hermitian矩阵。

说明 一般特征值问题是求解方程： 解的问题。广义特征值问题是求方程： 解的问题。

奇异值分解

函数 svd

格式 s = svd (X)          %返回矩阵X的奇异值向量

[U,S,V] = svd (X)   %返回一个与X同大小的对角矩阵S，两个酉矩阵U和V，且满足= U*S*V\'。若A为m×n阵，则U为m×m阵，V为n×n阵。奇异值在S的对角线上，非负且按降序排列。

[U,S,V] = svd (X,0)   %得到一个“有效大小”的分解，只计算出矩阵U的前n列，矩阵S的大小为n×n。

奇异值分解压缩图像

clear all;
close all;
clc;

a=imread(\'C:\Users\ranji\Desktop\rgb_image.jpg\');

imshow(mat2gray(a))
[m n]=size(a);
a=double(a);
%r=rank(a);
[s v d]=svd(a(:,:,1)); %取一个分量

%re=s*v*d\';
re=s(:,:)*v(:,1:1)*d(:,1:1)\';
figure;
imshow(mat2gray(re));
imwrite(mat2gray(re),\'C:\Users\ranji\Desktop\1.jpg\')

re1=s(:,:)*v(:,1:20)*d(:,1:20)\';
figure;
imshow(mat2gray(re));
imwrite(mat2gray(re),\'C:\Users\ranji\Desktop\2.jpg\')

re=s(:,:)*v(:,1:80)*d(:,1:80)\';
figure;
imshow(mat2gray(re));
imwrite(mat2gray(re),\'C:\Users\ranji\Desktop\3.jpg\')

re=s(:,:)*v(:,1:150)*d(:,1:150)\';
figure;
imshow(mat2gray(re));
imwrite(mat2gray(re),\'C:\Users\ranji\Desktop\4.jpg\')

不同特征值进行重构的效果。。。

最后说一些奇异值分解的应用：

1.图像压缩，正如上面的。

2.噪声滤波。

3.模式识别。因为svd就是提取主要的成分嘛。

4.生物，物理，经济方面的一些统计模型的处理。