实验目的

　　（1） 直观了解回归分析基本内容；

　　（2）掌握用数学软件求解回归分析问题。

实验要求

 　　实验步骤要有模型建立，模型求解、结果分析。

实验内容

(1)考察温度x对产量y的影响，测得下列10组数据：

 求y关于x的线性回归方程，检验回归效果是否显著，并预测x=42℃时产量的估值及预测区间（置信度95%）.

（2）某零件上有一段曲线，为了在程序控制机床上加工这一零件，需要求这段曲线的解析表达式，在曲线横坐标x_i处测得纵坐标y_i共11对数据如下：

 求这段曲线的纵坐标y关于横坐标x的二次多项式回归方程.

（3）混凝土的抗压强度随养护时间的延长而增加，现将一批混凝土作成12个试块，记录了养护日期x（日）及抗压强度y（kg/cm²）的数据：

实验步骤

 　　使用MATLAB求解问题（1），代码

 1 %回归分析
 2 x=20:5:65;
 3 Y=[13.2,15.1,16.4,17.1,17.9,18.7,...
 4     19.6,21.2,22.5,24.3];
 5 X=[ones(length(x),1),x\'];
 6 [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y\',X)
 7 sigga2=sum(r.^2)/(length(x)-2);
 8 %Sx2=var(x);
 9 Lxx=var(x)*(length(x)-1);
10 z=b(1)+b(2)*x;
11 figure(1),hold on;
12 plot(x,Y,\'k+\',x,z,\'r\',\'LineWidth\',2,\'LineWidth\',2);
13 legend(\'原始数据\',\'回归方程\',\'Location\',\'southeast\');
14 grid on;
15 figure(2),rcoplot(r,rint);
16 %set(gca,\'Color\',\'w\');

　　于是算得预测值的置信区间为(17.9243, 19.0527),求解的MATLAB命令如下：

>> exp61

>> y=b(1)+b(2)*42;

>> x_bar=mean(x);

>> u=sigga2*2.306*sqrt(1+0.1+(42-x_bar)^2/Lxx);

>> a=y-u;

>> b=y+u;

　　代码输出的图:

　　　　　　　　　　　　　　　　　　图1  回归方程拟合图和残差图

　　使用SPSS求解系数，

　　同样算得y=9.121+0.223x，并且显著性为0.000<0.05，回归方程具有意义。

代码：

1 REGRESSION
2   /MISSING LISTWISE
3   /STATISTICS COEFF OUTS CI(95) R ANOVA CHANGE
4   /CRITERIA=PIN(.05) POUT(.10)
5   /NOORIGIN
6   /DEPENDENT 产量
7   /METHOD=ENTER 温度
8   /RESIDUALS DURBIN
9   /SAVE PRED.

（2）解：设y=ax²+bx+c，使用MATLAB求解

>> x=0:2:20;y=[0.6,2.0,4.4,7.5,11.8,17.1,23.3,31.2,39.6,49.7,61.7];

>> [p,s]=polyfit(x,y,2);yy=@(x)p(1).*x.^2+p(2).*x+p(3);

>> x=linspace(0,20,40);hold on;

>> title(\'0.1403*x^2+0.1971*x+1.0105\'),

>> plot(0:2:20,y,\'ko\',x,yy(x),\'b\',\'LineWidth\',3);

>> legend(\'原始数据\',\'回归方程\');grid on;

算得a=0.1403，b=0.1971，c=1.0105。回归方程：y=0.1403x²+0.1971x+1.0105

　　　　　　　　图2  题2的回归方程拟合图

（3）解：由题干给出的y=a+blnx，并使用MATLAB求解，首先给出volum61.m文件

1 function yhat=volum61(beta,x)
2 yhat=beta(1)+beta(2).*log(x);
3 end

命令行求解：

>> x=[2,3,4,5,7,9,12,14,17,21,28,56];

>> y=[35,42,47,53,59,65,73,76,82,86,99];

>> x=[2,3,4,5,7,9,12,14,17,21,28,56];

>> y=[35,42,47,53,59,65,68,73,76,82,86,99];

>> beta0=[5,1]\';

>> [beta,r,J]=nlinfit(x\',y\',\'volum61\',beta0);

>> beta

beta =

   21.0058

   19.5285

作图，

>> figure,hold on;

>> xx=linspace(2,56,100);

>> yy=volum61(beta,xx);

>> plot(x,y,\'o\',xx,yy,\'Linewidth\',2,\'Linewidth\',2);

>> title(\'y=21.0058+19.5285lnx\');

>> legend(\'原始数据\',\'回归方程\',\'Location\',\'southeast\');grid on;

　　　　　　　　　　图3  题3的回归方程拟合图

　　由图可见回归方程的效果很好。

小结

 　　在求解回归分析的题目时，其中印象最深刻的应该是题1的求解，它用到了概率论与数理统计的知识。然后后面的两题，似乎用到了拟合的知识。