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      #                测试函数                     #

      ###############################################

 

#1. De jong 函数F1 

#   min f1(x1,x2,x3) = x1^2+x2^2+x3^2;  -5.12<=x1,x2,x3<=5.12;

#   一个极小点f1(0,0,0)=0 

#     《遗传算法原理及应用》周明 孙树栋 编著 p125。

#   GA参数取默认值（以下未交代的GA参数都取默认值）

#   xu注：注意，含下标的变量在变量定义域表达式的表示形式要和数学表达式

#         中的一致！

#

      x1^2+x2^2+x3^2;  -5.12<=x1,x2,x3<=5.12;

 

     

      # 以连加形式表示上式（只可以字母i为变量下标）：

   

      sum(1, 3, xi^2);   -5.12<=xi<=5.12;

    

      sum(1, 3, x[i]^2); -5.12<=x[i]<=5.12;

 

      # 指定 i 或 k 或 j 等字母为变量下标的连加形式表达式：

      # 说明：当指定某字母为变量下标，其变量名就不能含该字母 ！

 

      sumx(1, 3, i, xi^2);    -5.12<=xi<=5.12;

 

      sumx(1, 3, k, xk^2);    -5.12<=xk<=5.12;

 

      sumx(1, 3, j, xj^2);    -5.12<=xj<=5.12;

 

      # 变量下标带 [ ] 的连加形式表达式： 

 

      sumx(1, 3, i, x[i]^2);  -5.12<=x[i]<=5.12; 

 

 

#1-a  min f(x) = sum(1, 100, (x-0.5)^2);

#     0<=xi<=1.0; i=1, 2, ..., 100;

#     最优解：f(0.5, 0.5, ..., 0.5) = 0

#  

      sum(1, 100, (xi-0.5)^2); 0<=xi<=1.0;

 

 

#1-1. * De jong 函数F2 ， 又称 Rosonbrock马鞍函数

#     min f2(x1,x2) = 100*(x1^2-x2)^2+(1-x1)^2;  

#     它具有一个全局极小点f(1,1)=0 .该函数虽然

#     是单峰值函数,但它却是病态的（螺旋型），难以进行全局极小化。

#     摘自： 《遗传算法原理及应用》p125

#

#     这函数是二参数、单极值的非二次函数，但在x2＝x1处有一狭

#     长深谷，其最小值在（x1，x2）＝（1，1）时，min f＝0，

#     寻优中可能陷入局部解.

#

#     Rosenbrock 函数是一个二维单峰值函数，具有一个全局极小点

#     f(1.0，1.0)=0.0，但它却是病态的,在函数曲面上沿着曲线x2=x1^2

#     有一条较为狭窄的山谷，传统的梯度优化方法搜索到谷边缘时,往往

#     会发生振荡，难以进行全局优化。

#     但它在全局极小点邻近的狭长区域内取值变化极为缓慢, 可用于评价

#     算法的搜索性能。

#     摘自：多点正交交叉的遗传算法 刘 清等

#     xu注：当变量定义域表达式中存在二个以上的变量时得用\',\'分隔！

#

     100*(x1^2-x2)^2+(1-x1)^2;   -2.048<=x1,x2<=2.048;

    

     100*(x1^2-x2)^2+(1-x1)^2;   -10.0<=x1,x2<=10.0;

 

     100*(x1^2-x2)^2+(1-x1)^2;   -100.0<=x1,x2<=100.0;

 

     

#1-2. De jong 函数F3

#    min f3(x1,x2,...,x5)=sum(integer(xi)); 

#    -5.12<=xi<=-5.12   i=1,2,...,5    这是一个不连续函数,

#    该函数参数多，不可导，是五参数的阶梯函数，

#    在 -5.12<=xi<=-5.0 区域内的每一点，它都取全局极小值:

#    f3(x1,x2,x3,x4,x5)= -30。

#    摘自：《遗传算法原理及应用》p125

#

     floor(x1)+ floor(x2)+floor(x3)+floor(x4)+floor(x5);  -5.12<=x1,x2,x3,x4,x5<=5.12;

 

     sum(1, 5, floor(xi));   -5.12<=xi<=5.12;

 

     sumx(1, 5, i, floor(xi)); -5.12<=xi<=5.12;

 

 

#1-3 De Jong 函数F4

#    min f4(x1,x2,...,x30)=sum(i*xi^4)+rnd;

#    -1.28<=xi<=1.28, i=1,2,...,30;  

#    这是一个含噪声rnd的4次函数，当不考虑噪声的影响时，它具有

#    一个全局极小值f4(0,0,...,0)=0。

#    摘自：《遗传算法原理及应用》p125

#    原De Jong 函数，该噪声是分布为N(0,1)的高斯随机变量

#    RandG(0,1)。据文献介绍，当函数不存在全局最小值时，该函数

#    是有缺陷的。

#    为此，有人建议以均匀分布的[0,1)的随机变量代替之。这可保证

#    最小值定位于0。

#    Quartic [F4] is a simple unimodal function padded with noise.

#    The gaussian noise makes sure that the algorithm never gets

#    the same value on the same point.Algorithms that do not do

#    well on this test function will do poorly on noisy data.

#   

     sum(1,30,i*xi^4)+RandG(0,1); -5.12<=xi<=5.12;

   

     sum(1,30,i*xi^4)+rand(0,1); -5.12<=xi<=5.12;

 

 

#1-4 De Jong 函数F5  

#    min f5(x1,x2)=1/(1/500+sum(1/(j+sum((xi-aij)^6)))),

#    -65.536<=xi<=65.536, j=1,2,...,25; i=1,2;

#    a1j= -32,-16,0,16,32,       -32,-16,...,0,16,32

#    a2j= -32,-32,-32,-32,-32,   -16,-16,...,32,32,32

#    它总共有25个局部极小值，其中有一个是全局极小值:

#     f5(-32,-32)=0.998。  

#    摘自：《遗传算法原理及应用》p125

#    该函数是具有 2 5 个稀疏尖峰的多模态函数。

#    xu注：  本程序规定常数项一维数组命名为c, 二维数组命名为a,

#          即分别以c[j]和a[i,j]表示。

#          它们的二组数据即可记录在同一txt文件中，也可分别记

#          录在二个不同的txt文件中。文件应保存在本地文件夹内。

#            该数学表达式的常数项数组可调用1-4 ConstTermsData.txt

#          给予输入。

#    xu注：min f( -31.97833, -31.97833 ) = 0.998003840

#          若是f5(x1,x2)=0.002+sum(1/(j+sum((xi-aij)^6)))

#          min f = 0.00200

 

     1/(1/500+sumx(1,25,j,1/(j+sumx(1,2,i,(xi-a[i,j])^6))));  -65.536<=xi<=65.536;

 

     1/(0.002+sumx(1,25,j,1/(j+sumx(1,2,i,(xi-a[i,j])^6))));  -65.536<=xi<=65.536;

    

     0.002+sumx(1,25,j,1/(j+sumx(1,2,i,(xi-a[i,j])^6)));  -65.536<=xi<=65.536;

 

 

#2. Schaffer函数

#   min f(x1, x2), 该函数在(x[1], x[2])=(0,0)处有一个全局最小值0。

#

    0.5+((sin(sqrt(x[1]^2+x[2]^2))*sin(sqrt(x[1]^2+x[2]^2))-0.5)/((1.0+0.001*(x[1]^2+x[2]^2))*(1.0+0.001*(x[1]^2+x[2]^2))));   -100<=x[1],x[2]<=100;

   

    0.5+((sin(sqrt(x1^2+x2^2)))^2-0.5)/(1.0+0.001*(x1^2+x2^2))^2; -100<=x1,x2<=100;

 

    0.5+((sin(sqrt(pow(x1,2)+pow(x2,2))))^2-0.5)/(1.0+0.001*(pow(x1,2)+pow(x2,2)))^2; -100<=x1,x2<=100;

 

 

#3. * Schaffer函数

#   在其定义域内只有一个全局极小点min f(0,0)=0,  -100<=x1,x2<=100;

#

    ((x^2+y^2)^0.25)*((sin(50*(x^2+y^2)^0.1)^2)+1.0); -5.12<=x,y<=5.12;

 

    ((x1^2+x2^2)^0.25)*((sin(50*(x1^2+x2^2)^0.1)^2) +1.0);  -10<=x1,x2<=10;

 

    pow(pow(x1,2)+pow(x2,2), 0.25)*(pow(sin(50*pow((x1^2+x2^2),0.1)),2)+1.0);  -100<=x1,x2<=100;

 

 

#3-1 min f=sum(1, D-1, pow(x[i+1]^2+x[i]^2, 0.25)

#          *(1.0+pow(sin(50.0*pow(x[i+1]^2+x[i]^2, 0.1)), 2))),

#    -100<=x[i],x[i+1]<=100,  i=1,2,...,D-1;

#    其min f(0,0,...,0)=0;  其全局极小点与邻近的局部极小点之间

#    有High barrier height.是演化算法的典型测试函数。

#    摘自：《快速演化算法研究》 高飞等。

 

    sum(1, 9, pow(x[i+1]^2+x[i]^2, 0.25)*(1.0+pow(sin(50.0*pow(x[i+1]^2+x[i]^2, 0.1)), 2))); -100<=x[i],x[i+1]<=100;

 

    sum(1, 29, pow(x[i+1]^2+x[i]^2, 0.25)*(1.0+pow(sin(50.0*pow(x[i+1]^2+x[i]^2, 0.1)), 2)));  -100<=x[i],x[i+1]<=100;

 

 

#4. * Schaffer\'s 函数

#   此函数只有一个最小值点min f(0,0)＝-1；

#   该最小值点周围有很多局部极值点,形成二圈圈沟，其函数值分别为

#   -0.990283和-0.962776,因此很容易陷入在这些极小点处。

#   注：也可按多峰值函数处理，效果亦佳。

#

    (sin(sqrt(x^2+y^2))^2-0.5)/(1+0.001*(x^2+y^2))^2 -0.5; -100<x,y<100;

 

 

#4-1 Schaffer 函数, 此函数有一个全局最大值解 max f(0，0)=1.0 。

#    该最大值点周围有两圈圈脊，取值分别为0.990284 和0.962776，

#    而且这些局部极值与最大值间的值差很小，因此，优化过程中极易

#    停滞在这些局部极值点处。因而，该函数可以很好地衡量进化算法

#    的性能.

#

    0.5-((sin(sqrt(x^2+y^2)))^2-0.5)/(1.0+0.001*(x^2+y^2))^2;-100<x,y<100;

 

 

#4-2 Multimodal sine envelope sine wave function.

#    min f=sum(1, D-1, 0.5+((sin(sqrt(x[i+1]^2+x[i]^2)))^2

#     -0.5)/(1.0+0.001*(x[i+1]^2+x[i]^2))^2),

#     -100<=x[i],x[i+1]<=100， i=1,2,...,D-1;

#    该函数有一个全局极小值 min f(0, 0,..., 0)=0,  该全局极小点

#    被无数的局部极小点所围绕, 并且全局极小点与这些局部极小点之

#    间存在极大值点。该函数是评价演化算法全局收敛性及搜索性能的

#    经典函数。 

#    摘自：快速演化算法研究  高飞等.

#

     sum(1, 9, 0.5+((sin(sqrt(x[i+1]^2+x[i]^2)))^2-0.5)/(1.0+0.001*(x[i+1]^2+x[i]^2))^2); -100<=x[i],x[i+1]<=100;

 

     sum(1, 29, 0.5+((sin(sqrt(x[i+1]^2+x[i]^2)))^2-0.5)/(1.0+0.001*(x[i+1]^2+x[i]^2))^2); -100<=x[i],x[i+1]<=100;

 

 

#4-3 min f(x1,x2)=(((sin(sqr(x1^2+x2^2))^2-0.5)

#                /(1+0.001*(x1^2+x2^2))^2))-0.5;  -4<=x1,x2<=4;

#   其全局最优值在点(0,0).在全局最优值附近有无穷个取值相同的局部

#   最优值,且性态震荡强烈,一般的优化算法很难找到其全局最优解, 因

#   此常常被国内外很多学者用于对优化问题的测试.

#   摘自: Tang W, Guo ZM, Tang JH, Li DP. Optimizing complex

#   functions by chaos genetic algorithm. Journal of Harbin

#   Engineering University, 2000,21(5):1~5 (in Chinese with

#   English abstract).

#   其全局最优的精确解为(f=0.3679, x1=0, x2=0 ?);

#   xu注：f(x1,x2) = -1.00000, x1=0, x2=0; 

#

    (((sin(sqrt(x1^2+x2^2)))^2-0.5)/(1.0+0.001*(x1^2+x2^2))^2)-0.5;  -4<=x1,x2<=4;

 

 

#5. * Shubert函数 

#   min f(x,y)=(sum(i*cos((i+1)*x)+i))*(sum(i*cos((i+1)*y)+i)),

#   i=1:5, -10<=x,y<=10

#   该函数是一个多模态函数, 在其定义域内共有760个局部最小点,

#   其中的18 个点是全局最小点f = -186. 731 ,

#   因而该函数对于测试小生境遗传算法性能是非常适合的.

#   摘自:　MICHALEWICZ Z.

#   Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs [M] .

#   Beijing :Science Press ,2000 :1 - 128.

#   xu注：取小生境距=0.50～0.80, 最优保存数=22

 

    (cos(2*x[1]+1)+2*cos(3*x[1]+2)+3*cos(4*x[1]+3)+4*cos(5*x[1]+4)+5*cos(6*x[1]+5))*(cos(2*x[2]+1)+2*cos(3*x[2]+2)+3*cos(4*x[2]+3)+4*cos(5*x[2]+4)+5*cos(6*x[2]+5));  -10<= x[1],x[2]<=10;

 

    sum(1,5,i*cos((i+1)*x1+i))*sum(1,5,i*cos((i+1)*x2+i)); -10<=x1,x2<=10;

 

    sum(1,5,i*cos((i+1)*x+i))*sum(1,5,i*cos((i+1)*y+i)); -10<=x,y<=10;

 

 

#5-1  f(x)=sum(1,5,i*cos((i+1)*x1+i))*sum(1,5,i*cos((i+1)*x2+i))

           +(x1+1.42513)^2+(x2+0.80032)^2;

#    where -10 ≤ xi ≤ 10, i = 1, 2. There are about 760 local minima

#    and one global minimum f* = -176.1375 at x* = (-1.3068,-1.4248).

#    Levy No. 5-1 is identical to Levy No. 5 except for the addition

#    of a quadratic term. The large number of local optimizers makes

#    it extremely difficult for any approximation method to find the

#    global minimizer.

#    摘自：《An Evolutionary Algorithm for Minimizing Multimodal

#          Functions》D.G. Sotiropoulos, V.P. Plagianakos and M.N.

#          Vrahatis University of Patras, Department of Mathematics,

#          Division of Computational Mathematics & Informatics,

#    xu注：f( -1.42513, -0.80032 ) = -186.730911255 ?

 

     sum(1, 5, i*cos((i+1)*x1+i))*sum(1,5,i*cos((i+1)*x2+i))+(x1+1.42513)^2+(x2+0.80032)^2;  -10<=x1,x2<=10;

 

 

#6. Shubert函数

#   该函数有9个全局最小值-24.062499，位于(x,y):

#   (-6.774576,-6.774576)、(-6.774576，-0.491391)、

#   (-6.774576，5.791794)、(-0.491391，-6.774576)、

#   (-0.491391，-0.491391)、(-0.491391，5.791794)、

#   (5.791794，-6.774576)、(5.791794，-0.491391)、

#   (5.791794，5.791794)

#   取最优保存数=10～12, 其余默认值。

#

    -(sin(2*x+1)+2*sin(3*x+2)+3*sin(4*x+3)+4*sin(5*x+4)+5*sin(6*x+5))-(sin(2*y+1)+2*sin(3*y+2)+3*sin(4*y+3)+4*sin(5*y+4)+5*sin(6*y+5));  -10<=x,y<=10;

 

    -sum(1,5,i*sin((i+1)*x+i))-sum(1,5,i*sin((i+1)*y+i)); -10<=x,y<=10;

 

 

#7. Easom函数

#   min f(x1,x2) = -cos(x1)*cos(x2)*exp(-((x1-pi)^2)-(x2-pi)^2);

#   -10<x1,x2<10 ;  

#   在(x1,x2)=(pi, pi)处有全局最小值-1。

#

    -cos(x1)*cos(x2)*exp(-((x1-pi)^2)-(x2-pi)^2);  -10<x1,x2<10 ;

 

    -cos(x1)*cos(x2)*exp(-((x1-pi)^2)-(x2-pi)^2);  -100<=x1,x2<=100;

   

    -cos(x1)*cos(x2)*exp(-pow((x1-pi),2)-pow((x2-pi),2));  -500<=x1,x2<=500;

 

 

#7-1  min f(x,y) = sin(x)*sin(y);   -pi<=x,y<=pi;

#     有二个全局最小值：

#       1.  f( 1.57080, -1.57080 ) = -1.000000000

#       2.  f( -1.57080, 1.57080 ) = -1.000000000

#     来源：一种基于多群体搜索的实数遗传算法  程之刚等  国防科技大学。

#

      sin(x)*sin(y);   -pi<=x,y<=pi;

 

 

#8. Branin RCOS函数  在三个不同点：

#   (x[1],x[2])=(-pi,12.275) 、(pi, 2.2750)和(9.42478, 2.4750)

#   处有全局最小值 0.397887

#   xu注：当有二个以上的变量定义域表达式时，表达式之间得用\'&&\'分隔。

#         如下式有  0<=x[2]<=15  &&  -5<=x[1]<=10; 

#

    (x[2]-(5.1/(4*3.14159265359^2))*x[1]^2+(5/3.14159265359)*x[1]-6)*(x[2]-(5.1/(4*3.14159265359^2))*x[1]^2+(5/3.14159265359)*x[1]-6)+10*(1-1/(8*3.14159265359))*cos(x[1])+10;  0<=x[2]<=15  &&  -5<=x[1]<=10;

 

    (x[2]-(5.1/(4*3.14159265359^2))*x[1]^2+(5/3.14159265359)*x[1]-6)*(x[2]-(5.1/(4*3.14159265359^2))*x[1]^2+(5/3.14159265359)*x[1]-6)+10*(1-1/(8*3.14159265359))*cos(x[1])+10;  -5<=x[1]<=10  &&  0<=x[2]<=15;

  

    (x[2]-(5.1/(4*pi*pi))*x[1]*x[1]+(5/pi)*x[1]-6)*(x[2]-(5.1/(4*pi*pi))*x[1]*x[1]+(5/pi)*x[1]-6)+10*(1-1/(8*pi))*cos(x[1])+10;  -5<=x[1]<=10 && 0<=x[2]<=15;

 

 

#9. Six-hump Camel Back Function    六峰驼返回函数

#   该函数共有六个局部极小点，其中

#   f(-0.089842,0.71266)=f(0.089842,-0.71265)=-1.031628489

#   为二个全局最小点。

#   来源:　MICHALEWICZ Z.

#    Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs [M] .

#    Beijing :Science Press ,2000 :1 - 128.

#   xu注：当有二个以上的变量定义域表达式时，表达式之间得用\'&&\'分隔。

#         如0<=x[2]<=15  &&  -5<=x[1]<=10; 

#

    (4.0-2.1*x[1]^2+(1/3.0)*x[1]^4)*x[1]^2+x[1]*x[2]+(-4.0+4.0*x[2]^2)*x[2]^2;  -3<=x[1]<=3 && -2<=x[2]<=2;

   

    (4.0-2.1*pow(x1,2)+(1/3.0)*pow(x1,4))*pow(x1,2)+x1*x2+(-4.0+4.0*pow(x2,2))*pow(x2,2);  -3<=x1<=3 && -2<=x2<=2;

 

 

#10. 在定义域内有200个极大和极小值

#

    fabs((1-x)*x^2*sin(200*pi*x)); 0<x<1;

 

 

#11 * Rosenbrock\'s函数:

#   sum(1, D-1, 100*(x[i]^2-x[i+1])^2+(1-x[i])^2)

#     -5.12<=x[i]<=5.12   i=1:D

#   De jong 函数F2 的高维函数。

#   最优解  min f(1,1,1, ..., 1,1)=0.0;

#   文献［10］中采用传统GA求解了n=2时的问题.在Rosenbrock函数曲面山谷

#   中的点的最速下降方向几乎与到函数最小值的最好方向垂直,因而传统算

#   法（如最速下降法）较难求解此问题.在高维情况下传统GA难以高效地求

#   解该问题.

#  

#   xu注：D=30, 小生境初距＝0.3  终止代数＝1000，其余参数取默认值；

#        （090408）

#

      sum(1,3,100*(x[i]^2-x[i+1])^2+(1-x[i])^2); -5.12<=x[i],x[i+1]<=5.12;

 

      sum(1,5,100*(x[i]^2-x[i+1])^2+(1-x[i])^2); -5.12<=x[i],x[i+1]<=5.12;

 

      sum(1,10,100*(x[i]^2-x[i+1])^2+(1-x[i])^2); -5.12<=x[i],x[i+1]<=5.12;

 

      sum(1,30,100*(x[i]^2-x[i+1])^2+(1-x[i])^2); -5.12<=x[i],x[i+1]<=5.12;

 

      sum(1,30,100*(x[i+1]-x[i]^2)^2+(x[i]-1)^2); -30<=x[i],x[i+1]<=30;

 

 

#11-1.Rosenbrock\'s 函数   A widely used multimodal test function

#   sum(1, D-1, 100*(x[i+1]-xi^2)^2+(1-xi)^2);

#     =sum(1, D-1, 100*(x[i]-x[i-1]^2)^2+(1-x[i-1])^2;

#   global minimum  f(x) = 0  x(i) = 1.0, i=1:D

#   Rosenbrock 函数是一个经典复杂优化问题,可被当成多模优化函数,

#   它的全局最优点位于一个平滑、狭长的抛物线形山谷内.由于函数仅

#   为优化算法提供了少量信息,使算法很难辨别搜索方向,找到全局最小

#   点的机会微乎其微,该函数通常用于评价优化算法的执行效率.

#   在下一节的实验测试过程中,我们也发现优化算法一般只能获得该函

#   数的局部极值.其全局最优解：f(1,1,1,...,1)＝0. 

#   摘自：《多点交叉学习组织进化算法》 吕艳萍1,2, 李绍滋1+, 周昌乐1

#   Journal of Software 软件学报 Vol.18, Supplement, December 2007

#

    sum(1, 30, 100*(x[i+1]-x[i]^2)^2+(1-x[i])^2);-2.048<=x[i],x[i+1]<=2.048; 

 

    sum(1, 50, 100*(x[i+1]-x[i]^2)^2+(1-x[i])^2);-2.048<=x[i],x[i+1]<=2.048;

   

    sum(1, 100, 100*(x[i+1]-x[i]^2)^2+(x[i]-1)^2);-2.048<=x[i],x[i+1]<=2.048;

 

 

#11-2  Min f(x)=(sin(pi*y1))^2+sum(1, n-1, (y1-1)^2

#              *(1+10*(sin(pi*y[i+1]))^2))+(y[n]-1)^2

#     where yi=1+(xi-1)/4, (i = 1, . . . , n) and xi ∈ [-10, 10],

#     i = 1, 2, 3. There are about 125 local minima and one global

#     minimum f* = 0  at x* = (1, 1, 1).  No. 5-2 is difficult

#     due to the combinations of diffirent periods of the sine

#     function.

#     摘自：《An Evolutionary Algorithm for Minimizing Multimodal

#          Functions》D.G. Sotiropoulos, V.P. Plagianakos and M.N.

#          Vrahatis University of Patras, Department of Mathematics,

#          Division of Computational Mathematics & Informatics,

#    

 

   (sin(pi*(1+(x[1]-1)/4)))^2+sum(1, 2, ((1+(x[1]-1)/4)-1)^2*(1+10*(sin(pi*(1+(x[i+1]-1)/4)))^2))+((1+(x[3]-1)/4)-1)^2; -10<=x[1],x[3],x[i+1]<=10;

 

   (sin(pi*(1+(x[1]-1)/4)))^2+sum(1, 9, ((1+(x[1]-1)/4)-1)^2*(1+10*(sin(pi*(1+(x[i+1]-1)/4)))^2))+((1+(x[10]-1)/4)-1)^2; -10<=x[1], x[10],x[i+1]<=10;

 

   (sin(pi*(1+(x[1]-1)/4)))^2+sum(1, 29, ((1+(x[1]-1)/4)-1)^2*(1+10*(sin(pi*(1+(x[i+1]-1)/4)))^2))+((1+(x[30]-1)/4)-1)^2; -10<=x[1],x[30],x[i+1]<=10;

 

   (sin(pi*(1+(x[1]-1)/4)))^2+sum(1, 99, ((1+(x[1]-1)/4)-1)^2*(1+10*(sin(pi*(1+(x[i+1]-1)/4)))^2))+((1+(x[100]-1)/4)-1)^2; -10<=x[1],x[100],x[i+1]<=10;

 

 

 

#12. * X.FenXiang函数   这是一个多峰函数，有四个全局最小点:

#    f(1,1)=0, f(-1,1)=0, f(1,-1)=0, f(-1,-1)=0

#    较难完全同时搜索到全局极小化点，很有代表性。

#

     100*(x[1]^2-x[2]^2)^2+(1-x[1]^2)^2;  -2.048<=x[1],x[2]<=2.048;

 

 

#13. Goldstein and Price function (GP)   该函数在其定义域内

#    只有一个全局极小值 f(0,-1)=3.0 。

#

     (1+(x1+x2+1)^2*(19-14*x1+3*x1^2-14*x2+6*x1*x2+3*x2^2))*(30+(2*x1-3*x2)^2*(18-32*x1+12*x1^2+48*x2-36*x1*x2+27*x2^2)); -2<=x1,x2<=2;

 

 

#14. Hump function(HM)   该函数有二个全局最小值:

#    f(0.0898,-0.7126)=f(-0.0898,0.7126) = 0.0

#

     1.0316285+4*x1^2-2.1*pow(x1,4)+1/3*pow(x1,6)+x1*x2-4*x2^2+4*pow(x2,4); -5<x1,x2<5;

 

 

#15  * Rastrigin\'s Function    

#    A widely used multimodal test function Minimize:

#    min f(x)=10.0*n+sum(x[i]^2 - 10.0*cos(2*Pi*x[i]))  

#    -5.12<= x[i]<=5.12

#    global minimum f(x)=0   x[i]=0,  i=1:n

#    Rastrigin’s 函数是一个复杂的多模问题, 具有大量的

#    局部极值点, 主要用于检验算法的群体多样性.

#

     10.0*2+x1^2+x2^2-10*(cos(2*pi*x1)+cos(2*pi*x2));-5.12<=x1,x2<=5.12;

 

     10.0*10+sum(1,10,x[i]^2-10.0*cos(2*pi*x[i])); -5.12<=x[i]<=5.12;

 

 

#15-1.* Rastrigin\'s函数

#   min f5=sum(1, D, xi^2-10*cos(2*pi*xi)+10);

#   -5.12<=xi<=5.12; min f5(0, 0, ... , 0)=0;

#   函数是一个复杂的多模问题, 在xi=0(i=1,2,...,n)时达到全局极小点，

#   存在10D个的局部极值点(0.995,1.990,2.985,3.980,4.985 等).

#   主要用于检验算法的群体多样性.

#

 

    sum(1, 30, xi^2-10*cos(2*pi*xi)+10);  -5.12<=xi<=5.12;

 

    sum(1, 50, xi^2-10*cos(2*pi*xi)+10);  -5.12<=xi<=5.12;

 

    sum(1, 80, xi^2-10*cos(2*pi*xi)+10);  -5.12<=xi<=5.12;

 

    sum(1, 100, xi^2-10*cos(2*pi*xi)+10);  -5.12<=xi<=5.12;

 

 

#16. Bohachevsky函数#1   有一个f(0,0)=0.0 全局最小值。

#

     x1^2+2*x2^2-0.3*cos(3*pi*x1)-0.4*cos(4*pi*x2)+0.7; -50<=x1,x2<=50;

 

 

#17. Bohachevsky 函数 #2  有f(0,0)=0 全局最小值。

#

     x1^2+2*x2^2-0.3*cos(3*pi*x1)*cos(4*pi*x2)+0.3; -50<=x1,x2<=50;

 

 

#18. Bohachevsky 函数 #3  有f(0,0)=0 全局最小值。

#

     x1^2+2*x2^2-0.3*cos(3*pi*x1+4*pi*x2)+0.3; -50<=x1,x2<=50;

 

 

#19. Bohachevsky测试函数 3，最优解为-0.24，分布在[0，-0.24]

#    和[0，0.24]。

#    xu注：取小生境距＝0.2（取小于两峰值间距，变量定义域也不大），

#          其余默认值；

#

     x^2+y^2-0.3*cos(3*pi*x)+0.3*cos(4*pi*y)+0.3;  -1.0<=x,y<=1.0;

 

 

#20. 多峰函数，有四个全局最大值2.118，对称分布于

#    (+0.64,+0.64)，(-0.64,-0.64)，(+0.64,-0.64)，

#    (-0.64,+0.64)，存在大量局部极大值，

#    尤其是在中间区域有一取值与全局最大值很接近的局部极大值

#    2.077)凸台。

#    xu注：

#    最小值:

#     f( -0.64097, -0.64097 ) = -2.118763447

#     f( -0.64097, 0.64097 ) = -2.118763447

#     f( 0.64097, -0.64097 ) = -2.118763447

#     f( 0.64097, 0.64097 ) = -2.118763447

#    最大值:

#     f( -0.88118, -0.88118 ) = 0.632694185

#     f( -0.88118, 0.88118 ) = 0.632694185

#     f( 0.88118, -0.88118 ) = 0.632694185

#     f( 0.88118, 0.88118 ) = 0.632694185

#   

     -(1+x*sin(4*pi*x)-y*sin(4*pi*y+pi)+sin(6*sqrt(x^2+y^2))/(6*sqrt(x^2+y^2+10^(-15))));  -1<=x,y<=1;

 

 

#21. 函数6,有四个全局最小值-2.260,分布在：

#    (0.63492,0.63492),(-0.63492,0.63492),

#    (0.63492,-0.63492),(-0.63492,-0.63492)

#    xu注：

#     f( 0.63492, 0.63492 ) = -2.259986401

#     f( -0.63492, 0.63492 ) = -2.259986401

#     f( -0.63492, -0.63492 ) = -2.259986401

#     f( 0.63492, -0.63492 ) = -2.259986401

#

     -(1+x*sin(4*pi*x)-y*sin(4*pi*y+pi)); -1<=x,y<=1;

 

#22. Needle-in-a-haystack问题，当a=0.05；b=3,其最优解近似

#    为-3600，分布在(0，0)。

#    4个局部极值点为(+5.12,+5.12)，(-5.12,-5.12)，

#    (+5.12,-5.12)，(-5.12,+5.12)。

#    xu注:

#     1. f( 0.00000, 0.00000 ) = -3600.000000000

#     2. f( -5.12000, -5.12000 ) = -2748.782226563

#     3. f( -5.12000, 5.12000 ) = -2748.782226563

#     4. f( 5.12000, -5.12000 ) = -2748.782226563

#     5. f( 5.12000, 5.12000 ) = -2748.782226563

#

     -((3/(0.05+(x^2+y^2)))^2+(x^2+y^2)^2);  -5.12<=x,y<=5.12;

 

 

#23. Camel函数，有6个局部极小点:

#    (1.607105, 0.568651),(-1.607105, -0.568651)、

#    (1.703607, -0.796084),(-1.703607, 0.796084)、

#    (-0.0898,0.7126), (0.0898,-0.7126)，

#    其中(-0.0898,0.7126)和(0.0898,-0.7126)

#    为两个全局最小点，最小值为-1.031628。

#    xu注：

#    1.  f( -0.08984, 0.71266 ) = -1.031628489

#    2.  f( 0.08984, -0.71266 ) = -1.031628489

#

     (4-2.1*(x^2)+x^4/3)*x^2+x*y+(-4+4*y^2)*y^2;  -5.12<=x,y<=5.12;

 

 

#24. Rastrigrin 函数，全局最小值为0，分布在(0,0)处。

#

     20+x^2-10*cos(2*pi*x)+y^2-10*cos(2*pi*y);  -5.12<=x,y<=5.12;

 

 

#25. Sphere Model函数，全局最小值为0，分布在(0，0)。

#

     x^2+y^2;  -5.12<=x,y<=5.12;

 

 

#26. * Rana函数:

#    min f = x*sin(sqrt(fabs(y+1-x)))*cos(sqrt(fabs(y+1+x)))

#            +(y+1)*cos(sqrt(fabs(y+1-x)))*sin(sqrt(fabs(y+1+x))); 

#    -512<=x,y<=512;  全局最优解约为-511.708，分布在(-512，-512)。

#      The Rana function is a non-separable, highly multimodal

#    function.The left figure shows the two dimensional landscape of

#    the non-rotated version. The best solutions are at the corners.

#    Applying a simple parameter shift makes this function

#    non-symmetric.

#    来源：Genitor Colorado State University.

#    xu注：较难找到最优解，其实最优解还不是-511.708892822，但经常找到

#          的是它。

#          f( -512.00000, -511.99540 ) = -511.708892822  多数情况

#          f( -512.00000, -511.99560 ) = -511.708892822

#          f( -488.63258, 512.00000 ) = -511.732879639

#              小生境初距＝500～1000，其余默认值

#          f( 487.50042, 504.22052 ) = -552.609375000

#          f( 505.20298, 486.14774 ) = -564.045166016

#         采用多峰值函数寻优方式，同时得到：

#         1.  f( -488.63258, 512.00000 ) = -511.732879639

#         2.  f( -512.00000, -511.99560 ) = -511.708892822

#

     x*sin(sqrt(fabs(y+1-x)))*cos(sqrt(fabs(y+1+x)))+(y+1)*cos(sqrt(fabs(y+1-x)))*sin(sqrt(fabs(y+1+x)));  -512<=x,y<=512;

 

     x*sin(sqrt(fabs(y+1-x)))*cos(sqrt(fabs(y+1+x)))+(y+1)*cos(sqrt(fabs(y+1-x)))*sin(sqrt(fabs(y+1+x)));  -512<=x,y<=512;

 

 

 

#27. 函数16，全局最小值f(0,0)=0

#

     fabs(x)+fabs(y)+fabs(x)*fabs(y);   -10<=x,y<=10;

 

 

#28. Michalewicz\'s 函数，函数有1个全局极小值点取值近似为

#    -1.8013，在(2.0230，2.0230)处。

#    xu注：f( 2.20291, 1.57080 ) = -1.801303387

#

     -sin(x)*(sin(x^2/pi))^20-sin(y)*(sin(2*y^2/pi))^20; 0<=x,y<=pi;

 

     -sin(x)*pow((sin(x^2/pi)),20)-sin(y)*pow((sin(2*y^2/pi)),20); 0<=x,y<=pi;

 

 

#28-1 Michalewicz\'s function

#   min f(...)=-sum(1, N, sin(xi)*pow(sin(i*xi^2/pi),20));

#   0<=xi<=pi; 最小值：-99.2784。

#   摘自：《用于函数优化的正交Multi-Agent遗传算法》，薛明志等，

#         系统工程与电子技术，第26卷第9期，2004年9月。

#

#     The Michalewicz function is a multimodal test function

#   (owns n! local optima).The parameter m defines the "steepness"

#   of the valleys or edges.Larger m leads to more difficult search.

#   For very large m the function behaves like a needle in the

#   haystack(the function values for points in the space outside the

#   narrow peaks give very little information on the location of the

#   global optimum). Function has the following definition

#   f(x) = -sum( sin(x(i)) * (sin(i*x(i)^2/pi))^(2*m) ),

#   i=1:n, m=10   0<=x(i)<=pi.  global minimum:

#   f(x)=-4.687 (n=5); x(i)=???, i=1:n.

#   f(x)=-9.66 (n=10); x(i)=???, i=1:n.

#   摘自：GEATbx: Example Functions (single and multi-objective

#         functions) 2 Parametric Optimization

#   xu注：从该函数3D图可见，随维数增加，该函数出现\'平台\'和狭长的\'山谷\',

#         \'平台\'的出现不利于靠目标函数值（适应度）的变化进行的寻优，

#         \'平台\'上的搜索点很难起导向性的搜索，而是呈现盲目性随机的搜索。

#         只有搜索点随机地落入\'山谷\',才有可能朝最优解方向搜索。这是造成

#         高维的该函数寻优的难度，使其寻优偶然性很大，取得最优解成功率不高。

#         n<=10很容易得到最优解，再高后难度增加。

#    n=5,  群体个体数＝30，最优保存数＝10，其它取默认值。

#          f( 2.20291, 1.57080, 1.28499, 1.92306, 1.72047 )

#          = -4.687658310

#    n=10, 群体个体数＝30，最优保存数＝10，其它取默认值。

#          f( 2.20291, 1.57080, 1.28499, 1.92306, 1.72047,

#             1.57080, 1.45441, 1.75609, 1.65572, 1.57080 )

#          = -9.660151482

#    n=30, 群体个体数＝15   最优保存数＝15  其余取默认值。

#          当迭代数到10左右，解要达到27～28时，才有希望达到最优解！

#          得到最优解的成功率不如n<=10.

#          f( 2.20291, 1.57080, 1.28499, 1.92306, 1.72047, 1.57080,

#             1.45441, 1.75609, 1.65572, 1.57080, 1.49773, 1.69662,

#             1.63008, 1.57080, 1.51755, 1.66606, 1.61633, 1.57080,

#             1.52891, 1.64746, 1.60776, 1.57080, 1.53627, 1.63493,

#             1.60190, 1.57080, 1.54144, 1.62593, 1.59765, 1.57080 )

#          = -29.630884171

#   

#    n=50  终止代数＝1000，其余取默认值。

#          f( 2.20291, 1.57080, 1.28499, 1.92306, 1.72047, 1.57080,

#             1.45441, 1.75609, 1.65572, 1.57080, 1.49773, 1.69662,

#             1.63008, 1.57080, 1.51755, 1.66606, 1.61633, 1.57080,

#             1.52891, 1.64746, 1.60776, 1.57080, 1.53627, 1.63493,

#             1.60190, 1.57080, 1.54144, 1.62593, 1.59765, 1.57080,

#             1.54525, 1.61914, 1.59442, 1.57080, 1.54819, 1.61384,

#             1.59188, 1.57080, 1.55053, 1.60959, 1.58984, 1.57080,

#             1.55242, 1.60610, 1.58815, 1.57080, 1.55400, 1.60319,

#             1.58674, 1.57080 ) = -49.624832153

# 

    -sum(1, 5, sin(xi)*pow(sin(i*xi^2/pi),20)); 0<=xi<=pi;

 

    -sum(1, 10, sin(xi)*pow(sin(i*xi^2/pi),20)); 0<=xi<=pi;

 

    -sum(1, 30, sin(xi)*pow(sin(i*xi^2/pi),20)); 0<=xi<=pi; 

 

    -sum(1, 50, sin(xi)*pow(sin(i*xi^2/pi),20)); 0<=xi<=pi; 

 

    -sum(1, 100, sin(xi)*pow(sin(i*xi^2/pi),20)); 0<=xi<=pi;  

 

 

#28-2 Michalewicz’s function

#   max f(...) = sum(1, N, sin(xi)*(sin(i*xi^2/pi))^20)

#   0.0<=xi<=3.14;

#   当N=100时，据介绍，最大值为99.2784,

#   来源作者的计算结果为99.61630365;

#   摘自：《适用于高维优化问题的改进进化策略》王湘中，喻寿益

#

#

    sum(1, 10, sin(xi)*pow(sin(i*xi^2/pi),20)); 0<=xi<=pi;

   

    sum(1, 10, sin(xi)*(sin(i*xi^2/pi))^20); 0.0<=xi<=pi;

   

    sum(1, 30, sin(xi)*(sin(i*xi^2/pi))^20); 0.0<=xi<=pi;    

 

    sum(1, 100, sin(xi)*(sin(i*xi^2/pi))^20); 0.0<=xi<=pi;

 

 

#29. Schwefel\'s函数,是一个典型的欺骗问题，有1个全局极小值点

#    取值近似为-837.9658，在(420.96875,420.96875)处，距离另

#    一个局部最优点很远，因此如果陷入局部最优就很难跳出。

#    xu注：f( 420.96875, 420.96875 ) = -837.965759277

#

     -x*sin(sqrt(fabs(x)))-y*sin(sqrt(fabs(y))); -500<=x,y<=500;

 

 

#30. Schwefel\'s function

#    sum(1, D, -x(i)·sin(sqrt(abs(x(i)))));

#    i=1:D;  -500<=x(i)<=500;

#    global minimum: f(x) = -D·418.9829;  

#    x(i)=420.9687, i=1:D.

#    xu注： 基本同#31

#     D=2, f( 420.96875, 420.96875 ) = -837.965759277

#     D=3, f( 420.96875, ..., 420.96875)=-1256.948608398;

#     D=10, f( 420.96875, ..., 420.96875)=-4189.829101563;

#     D=30,f( 420.96875, ..., 420.96875)=-12569.486328125

#

     -x1*sin(sqrt(fabs(x1)))-x2*sin(sqrt(fabs(x2)));-500<=x1,x2<=500;

 

     sum(1,2,-xi*sin(sqrt(fabs(xi))));-500<=xi<=500;

 

     sum(1,2,-x[i]*sin(sqrt(fabs(x[i]))));-500<=x[i]<=500;

 

     sum(1,3,-x[i]*sin(sqrt(fabs(x[i]))));-500<=x[i]<=500;

 

     sum(1,10,-x[i]*sin(sqrt(fabs(x[i]))));-500<=x[i]<=500;

 

     sum(1,30,-x[i]*sin(sqrt(fabs(x[i]))));-500<=x[i]<=500;

 

     -sum(1,30,xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-500<=xi<=500;

 

 

# *31. Schwefel\'s 函数   (Sine Root)function,

#   A widely used multimodal test function:

#   f(x) = 418.9829*n + sum(1, n, -x(i)*sin(sqrt(abs(x(i))));

#   -500 <= x(i) <= 500;

#   global minimum f(x) = 0, x(i)=420.9687, i=1:n

#   Schwefel\'s function [7] is deceptive in that the global

#   minimum is geometrically distant from the next best local

#   minima.

#   由于其全局最优解点周围存在局部极值点,因此搜索难以抵达全局

#   最优解点,主要用于检验算法的种群多样性.

#

#   http://www.aridolan.com/ga/gaa/Schwefel.html

#

#   xu注：常数418.9829精度不过,为418.982887272433799才有足过精度,

#   即 418.982887272433799*D + sum(1,D, -x(i)*sin(sqrt(abs(x(i))));

#   才能global minimum f(x) = 0

#

#       118.439及228.765,236.877,473.753 ,592.192等是其局部极值?

#   容易停滞在这些点上.

#  

#

# 

    418.9829*2+sum(1,2,-xi*sin(sqrt(fabs(xi))));  -500<=xi<=500;

 

    418.982887272433*2-sum(1,2,xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-500<=xi<=500;

 

    418.982887272433*2-sum(1,2,xi*sin(sqrt(fabs(xi))));-500<=xi<=500;

 

    418.982887272433*3-sum(1,3, xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-500<=xi<=500;

 

    418.982887272433*3-sum(1,3, xi*sin(sqrt(fabs(xi))));-500<=xi<=500;

 

    418.982887272433*5-sum(1,5,xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-500<=xi<=500;

 

    418.982887272433*5-sum(1,5, xi*sin(sqrt(fabs(xi))));-500<=xi<=500;

 

    418.982887272433*10-sum(1,10,xi*sin(sqrt(fabs(xi))));-500<=xi<=500;

  

    418.982887272433*30-sum(1,30,xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-500<=xi<=500;

 

    418.982887272433*30-sum(1,30,xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-512<=xi<=512;

   

    418.982887272433*30-sum(1,30,xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-520<=xi<=520;

 

    418.982887272433*40-sum(1,40,xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-500<=xi<=500;

 

    418.982887272433799*50-sum(1,50,xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-500<=xi<=500;

 

    418.982887272433799*60-sum(1,60,xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-500<=xi<=500;

 

    418.982887272433799*70-sum(1,70,xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-500<=xi<=500;

 

    418.982887272433799*80-sum(1,80,xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-500<=xi<=500;

 

    418.982887272433799*90-sum(1,90,xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-500<=xi<=500;

 

   418.982887272433799*100-sum(1,100,xi*sin(fabs(xi)^(1/2)));-500<=xi<=500;

 

 

#32. Ackley\'s Path function ，函数有1个全局极小值点取值为0，

#    在(0,0)处。Ackley’s 函数在狭长的全局极值点周围拥有很多

#    的局部极值.主要用以测试算法的收敛率.

#

     -20*exp(-0.2*sqrt(0.5*(x^2+y^2)))-exp(0.5*(cos(2*pi*x)+cos(2*pi*y)))+exp(1)+20;  -30<=x,y<=30;

 

     20+e-20*exp(-0.2*sqrt(1/30*sum(1,30,xi^2)))-exp(1/30*sum(1,30,cos(2*pi*xi))); -32.768<=x,y<=32.768;

 

     20+e-20*exp(-0.2*sqrt(1/100*sum(1,100,xi^2)))-exp(1/100*sum(1,100,cos(2*pi*xi))); -32.768<=x,y<=32.768;

 

 

#32-1  玄光男的遗传算法讲稿,有图. 有一最小值：

#    Optimal solution(x*,y*)=(0,0)  f(x*,y*)=0

#

     -20*exp(-0.2*sqrt(0.5*(x^2+y^2)))-exp(0.5*(cos(2*pi*x)+cos(2*pi*y)))+exp(1)+20;  -5<=x,y<=5;

 

 

#32-2. Ackley\'s函数

#    f2=20+e-20*exp(-0.2*sqrt(1/D*sum(1,D,xi^2)))

#       -exp(1/D*sum(1,D,cos(2*pi*xi));-32.768<=xi<=32.768;

#    min f2(0,0,...,0) = 0;

#    Ackley’s 函数在狭长的全局极值点周围拥有很多的局部极值,

#    它是6个基准测试函数中最容易得到最优解的,主要用以测试算法的

#    收敛率。

#    摘自：《多点交叉学习组织进化算法》 吕艳萍1,2, 李绍滋1+, 周昌乐1

#    Journal of Software 软件学报 Vol.18, Supplement, December 2007

#   

    20+e-20*exp(-0.2*sqrt(1/30*sum(1,30,xi^2)))-exp(1/30*sum(1,30,cos(2*pi*xi))); -32.768<=xi<=32.768;

 

    20+e-20*exp(-0.2*sqrt(1/100*sum(1,100,xi^2)))-exp(1/100*sum(1,100,cos(2*pi*xi))); -32.768<=xi<=32.768;

 

 

 

#33. Hansen函数,函数有一个全局最小值-176.541793，在下面九

#    个点处取值:

#    (-7.589893，-7.708314)、(-7.589893，-1.425128)、

#    (-7.589893，4.858057)、(-1.306708，-7.708314)、

#    (-1.306708，-1.425128)、(-1.306708，4.858057)、

#    (4.976478，-7.708314)、(4.976478，-7.708314)、

#    (4.976478，4.858057) 函数共有760个局部极小值。

#

     (cos(1)+2*cos(x+2)+3*cos(2*x+3)+4*cos(3*x+4)+5*cos(4*x+5))*(cos(2*y+1)+2*cos(3*y+2)+3*cos(4*y+3)+4*cos(5*y+4)+5*cos(6*y+5)); -10<=x,y<=10;

 

 

#34. Griewangk\'s 函数(similar to Rastrigin\'s function)函数

#    有1个全局极小值点取值为0，在(0,0)处。

#

     (x^2+y^2)/4000-cos(x)*cos(y/sqrt(2))+1; -600<=x,y<=600;

    

     sum(1,2,xi^2)/4000-prod(1,2, cos(xi/sqrt(i)))+1; -600<=xi<=600;

    

     sum(1,5,xi^2)/4000-prod(1,5, cos(xi/sqrt(i)))+1; -10<=xi<=10;

 

 

#35. Griewangk\'s function is similar to Rastrigin\'s

#    function. It has many widespread local minima.However,

#    the location of the minima are regularly distributed.

#    global minimum:

#    f(x)=0; x(i)=0, i=1:n.

#    f8(x)=sum(x(i)^2/4000)-prod(cos(x(i)/sqrt(i)))+1, i=1:n 

#    -600<=x(i)<=600.

#

      x1^2/4000+x2^2/4000-cos(x1/sqrt(1.0))*cos(x2/sqrt(2.0))+1;  -600<=x1,x2<=600;

 

      x1^2/4000+x2^2/4000-cos(x1/sqrt(1.0))*cos(x2/sqrt(2.0))+1;  -10<=x1,x2<=10;

 

 

#36.  min. F=(X[1]-1)*(X[1]-1)+(X[2]-1/2)*(X[2]-1/2)

#            +(X[3]-1/3)*(X[3]-1/3)+...+(X[100]-1/100)

#            *(X[100]-1/100)

#     s.t. -10<=X[I]<=10，I=1,2,...,100

#     全局最小值 0   

#     10维：f( 1.00000, 0.50000, 0.33333, 0.25000, 0.20000, 0.16667,

#            0.14286, 0.12500, 0.11111, 0.10000 ) = 0.000000000

#     20维：f( 1.000