在普遍的理解中，最大似然估计是使用已知的样本结果信息来反向推断最有可能导致这些样本结果的模型参数值！

换句话说，最大似然估计提供了一种在给定观测数据的情况下评估模型参数的方法，即“模型已确定且参数未知”。

在所有双射函数的意义上，极大似然估计是不变的  ，如果   是的极大似然估计     。

让  ，    等于  中的似然函数。由于   是的最大似然估计  ，

因此，   是的最大似然估计  。

例如，伯努利分布为   ，   

给定样本  ，概率是

则对数似然

与ICI

因此，一阶条件

何时满足  。为了说明，考虑以下数据

1.  
    
2.  
   > X
3.  
   [1] 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1

（负）对数似然

1.  
   > loglik=function(p){
2.  
   + -sum(log(dbinom(X,size=1,prob=p)))
3.  
   + }

我们可以在下面看到

1.  
    
2.  
   > plot(u,v,type="l",xlab="",ylab="")

根据以上计算，我们知道的极大似然估计  是

1.  
   > mean(X)
2.  
   [1] 0.53

数值为

1.  
   $par
2.  
   [1] 0.53
3.  
    
4.  
   $value
5.  
   [1] 10.36
6.  
    
7.  
   $counts
8.  
   function gradient
9.  
   20 NA
10.  
     
11.  
    $convergence
12.  
    [1] 0
13.  
     
14.  
    $message
15.  
    NULL

我们没有说优化是在区间内 。但是，我们的概率估计值属于 。为了确保最优值在 ，我们可以考虑一些约束优化程序

1.  
   ui=matrix(c(1,-1),2,1), ci=c(0,-1)
2.  
   $par
3.  
   [1] 0.53
4.  
    
5.  
   $value
6.  
   [1] 10.36
7.  
    
8.  
   $counts
9.  
   function gradient
10.  
    20 NA
11.  
     
12.  
    $convergence
13.  
    [1] 0
14.  
     
15.  
    $message
16.  
    NULL
17.  
     
18.  
    $outer.iterations
19.  
    [1] 2
20.  
     
21.  
    $barrier.value
22.  
    [1] 6.91e-05

在上一张图中，我们达到了对数似然的最大值

> abline(v=opt$par,col="red")

另一种方法是考虑   （如指数分布）。则对数似然

这里

因此，一阶条件

满足

即

从数值角度来看，我们有相同的最优值

1.  
   (opt=optim(0,loglik))
2.  
   $par
3.  
   [1] 0.13
4.  
    
5.  
   $value
6.  
   [1] 10.36
7.  
    
8.  
   $counts
9.  
   function gradient
10.  
    20 NA
11.  
     
12.  
    $convergence
13.  
    [1] 0
14.  
     
15.  
    $message
16.  
    NULL
17.  
     
18.  
    > exp(opt$par)/(1+exp(opt$par))
19.  
    [1] 0.53

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