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原文出处：拓端数据部落公众号

什么是PCR？（PCR = PCA + MLR）

• PCR是处理许多 x 变量的回归技术
• 给定 Y 和 X 数据：
• 在 X 矩阵上进行 PCA
– 定义新变量：主成分（分数）
• 在 多元线性回归(MLR)  中使用这些新变量中的一些来建模/预测 Y
• Y 可能是单变量或多变量。 

例子

1.  
    
2.  
   # 对数据
3.  
   set.seed(123)
4.  
    
5.  
   da1 <- marix(c(x1, x2, x3, x4, y), ncol = 5, row = F)
6.  
    

多元线性回归和逐步剔除变量，手动：

1.  
   # 对于data1：（正确的顺序将根据模拟情况而改变）。
2.  
   lm(y ~ x1 + x2 + x3 + x4)
3.  
    
4.  
   lm(y ~ x2 + x3 + x4)
5.  
    
6.  
    
7.  
   lm(y ~ x2 + x3)
8.  
    
9.  
    
10.  
    lm(y ~ x3)
11.  
     

配对关系图

pais(atix, ncol = 5, byrow = F

如果重复： 

1.  
   # 对于data2:
2.  
    
3.  
   lm(y ~ x1 + x2 + x3 + x4)
4.  
    
5.  
   lm(y ~ x1 + x2 + x4)
6.  
    
7.  
    
8.  
    
9.  
   lm(y ~ x2 + x4)
10.  
     
11.  
    lm(y ~ x2)

 数据集 2 的绘图：

使用四个 x 的均值作为单个变量来分析两个数据集： 

1.  
   xn1 <- (dt1[,1] + a1[,2] + at1[,3] + dt1[,4])/4
2.  
   lm(data1[,5] ~ xn1)
3.  
   lm(data2[,5] ~ xn2)
4.  
    

检查一下X数据的PCA的载荷loading是什么。

1.  
   # 几乎所有的方差都在第一主成分解释。
2.  
   prnmp(dt1[,1:4])
3.  
    

1.  
   # 第一个成分的载荷
2.  
   picp(dta1[,1:4])$lads[,1]

它们几乎相同，以至于第一个主成分本质上是四个变量的平均值。让我们保存一些预测的 beta 系数 - 一组来自数据 1 的完整集和一组来自均值分析的：

1.  
   c1 <- smry(lm(dta1[,5] ~ dta1[,1] + dta1[,2] + ata1[,3] +
2.  
   dt1[,4]))$coficns[,1]
3.  
   f <- summry(rm2)$cefets[,1]

我们现在模拟三种方法（完整模型、均值（=PCR）和单个变量）在 7000 次预测中的表现：

1.  
    
2.  
   # 对预测进行模拟。
3.  
   误差<- 0.2
4.  
    
5.  
   xn <- (x1 + x2 + x3 + x4)/4
6.  
   yt2 <- cf[1] + cf[2] * xn
7.  
   yht3 <- cf[1] + cf[2] * x3
8.  
   bro(c(um((y-hat)^2)/7000 min = "平均预测误差平方")
9.  
    

PCR 分析误差最小。

示例：光谱类型数据

构建一些人工光谱数据：（7 个观测值，100 个波长）
 

1.  
    
2.  
    
3.  
   # 光谱数据实例
4.  
    
5.  
   mapot(t(spcra) )
6.  
   mtlnes(t(spcra))
7.  
    
8.  
    

平均光谱表明： 

1.  
   mtpot(t(secra))
2.  
   malies(t(spcta))
3.  
   mnp <- apply(spcra, 2, mean)
4.  
   lines(1:100, mnp, lwd = 2)

平均中心光谱： 

1.  
   spcamc<-scae(spcta,scale=F)
2.  
   plot(t(spermc),tpe="")

标准化光谱： 

1.  
   sptracs<-scale(spetra,scale=T,center=T)
2.  
   matott(specrams),tye="n",
3.  
   matlies(t(sectramcs))

1.  
    
2.  
   # 用特征函数对相关矩阵做PCA。
3.  
   pcaes <- eien(cor(spra))
4.  
   ladigs <- pces$vectors[,1].
5.  
   score <- peramcs%*%t(t(lodis1))
6.  
   pred <- soes1 %*% loadings1
7.  
   ## 1-PCA预测值转换为原始尺度和平均值。
8.  
   mtrx(repeasp, 7), nro=7, brw=T)
9.  
    

 在单个概览图中收集的所有图：

1.  
   par(mfrow = c(3, 3)
2.  
   matlot(t(sectr)

PCR是什么？

• 数据情况：

• 用A 主成分t1、t2... 做MLR而不是所有（或部分）x。
• 多少个成分：通过交叉验证确定。

怎么做？

1. 探索数据
2. 进行建模（选择主成分数量，考虑变量选择）
3. 验证（残差、异常值、影响等）
4. 迭代 2. 和 3。
5. 解释、总结、报告。
6. 如果相关：预测未来值。

交叉验证

• 忽略一部分观察值
• 在剩余（减少的）数据上拟合模型
• 预测模型遗漏的观察值：yˆi,val
• 对所有观察值依次执行此操作并计算总体模型性能：

（预测的均方根误差）

最后：对所有选择的分量（0、1、2、...、... ）进行交叉验证并绘制模型性能

barplot(names.arg)

选择最佳成分数：
• 总体误差最小的主成分。

重采样

• 交叉验证 (CV)

•留一法(Leave-One-Out,简称LOO)

• Bootstrapping
• 一个很好的通用方法：
– 将数据分成训练集和测试集。
– 在训练数据上使用交叉验证
– 检查测试集上的模型性能
– 可能：重复所有这些多次（重复双交叉验证）

交叉验证 - 原则

• 最小化预期预测误差：
平方预测误差 = Bias2 +方差
• 包括“许多”PC主成分：低偏差，但高方差
• 包括“很少”PC 主成分：高偏差，但低方差
• 选择最佳折衷！

验证 - 存在于不同的级别

1. 分为 3 个：训练（50%）、验证（25%）和测试（25%）
2. 拆分为 2：校准/训练 (67%) 和测试 (33%) 
训练中，CV/bootstrap •更常用
3. 没有 "固定分割"，而是通过CV/bootstrap反复分割，然后在每个训练组内进行CV。
4. 没有分割，但使用（一级）CV/bootstrap。
5. 只对所有数据进行拟合--并检查误差。

示例：汽车数据

1.  
    
2.  
   # 例子：使用汽车数据。
3.  
   # 将X矩阵定义为数据框中的一个矩阵。
4.  
   mtas$X <- as.ix(mcas[, 2:11])
5.  
   # 首先，我们考虑随机选择4个属性作为测试集
6.  
   mtcrs_EST<- mtcrs[tcars$rai == FASE,] 。
7.  
   tcaTRAIN <- mtars[tcarstrai == TUE,] 。
8.  
    

现在所有的工作都在 训练数据集上进行。

探索数据

我们之前已经这样做了，所以这里不再赘述

数据建模

使用pls软件包以最大/大量的主成分运行PCR。
 

1.  
    
2.  
   # 使用pls软件包，以最大/较大的成分数运行PCR。
3.  
   pls(lomg ~ X , ncop = 10, dta = marsTRAN,
4.  
   aliaon="LOO")
5.  
    

 初始图集：

1.  
    
2.  
   # 初始化的绘图集。
3.  
   par(mfrow = c(2, 2)
4.  
   plot(mod)

主成分的选择： 

1.  
    
2.  
   # 主成分的选择。
3.  
   # 分段的CV会得到什么。
4.  
   modseCV <- pcr(lomg ~ X , ncp = 10, dta = marTIN
5.  
   vai ="CV"
6.  
   )
7.  
   # 初始图集。
8.  
   par(mfrow = c(1, 2))
9.  
   plot(odsC, "vadaion")

让我们看看更多的主成分： 

1.  
   # 让我们看看更多的主成分。
2.  
   # 分数。
3.  
   scre(mod)

1.  
   #负荷
2.  
   loading(md,cms = 1:4)

我们选择 3 个主成分： 

1.  
    
2.  
   # 我们选择4个成分
3.  
   m <- ncmp = 3, data = mrs_TAI vdon = "LOO", akknie = RUE
4.  
    

然后： 验证：
让我们验证更多：使用 3 个主成分。我们从中获取预测的残差，因此这些是（CV）验证版本！

1.  
    
2.  
    
3.  
   oit <- ppo(mod3, whih = "litin")
4.  
   plot(obft[,2], Rsds)
5.  
   # 为了绘制残差与X-杠杆的对比，我们需要找到X-杠杆。
6.  
   # 然后找到杠杆值作为Hat矩阵的对角线。
7.  
   # 基于拟合的X值。
8.  
   Xf <- sors(md3)
9.  
   plot(lvge, abs(Rsidals))
10.  
    text(leage, abs(Reuls))
11.  
     

1.  
    
2.  
   # 让我们也绘制一下残差与每个输入X的关系。
3.  
    
4.  
   for ( i in 2:11){
5.  
   plot(res~masAN[,i],type="n")
6.  
   }
7.  
    

解释/结论

现在让我们看一下结果——“解释/结论”：

1.  
    
2.  
   # 现在我们来看看结果 - 4) "解释/结论"
3.  
   par(mfrw = c(2, 2))
4.  
   # 绘制具有Jacknife不确定性的系数。
5.  
   obfi <- red(mod3,, wich = "vltn)
6.  
   abe(lm(ft[,2] ~ fit[,1])
7.  
   plt(mo3, ses = TUE,)
8.  
    
9.  
    

1.  
   # 最后是一些输出
2.  
   test(mo3, nm = 3)

预测

1.  
    
2.  
   # 现在让我们试着预测TEST集的4个数据点。
3.  
   prdit(md3, nwaa =TEST)
4.  
   plt(TEST$lgg, pes)
5.  
    

1.  
   rmsep <- sqrt(men(log - prd)^2))
2.  
   rmsep

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