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r语言二元期权barrier option实现案例

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Double-no-touch（DNT）选项是二元期权，在到期时支付固定金额的现金。不幸的是，fExoticOptions包目前不包含此选项的公式。我们将展示两种不同的方式来定价包含两种不同定价方法的DNT。在本节中，我们将调用函数dnt1，对于第二种方法，我们将使用dnt2作为函数的名称。

Hui（1996）展示了如何定价单触双屏障二元期权。在他的术语中，“一触”意味着单笔交易足以触发淘汰事件，而“双屏障”二元意味着存在两个障碍，这是二元期权。我们称之为DNT，因为它通常用于外汇市场。这是一个很好的例子，因为许多流行的异国情调选项都在不止一个名称下运行。在豪格（2007a）中，回族公式已经被翻译成广义框架。S，r，b，s和T具有相同的含义。K表示支付（美元金额），而L和U表示较低和较高的障碍。

将hui（1996）的功能实施到R开头有一个很大的问号：我们应该用无限的总和来做什么？我们应该用无穷大代替多少？有趣的是，出于实际目的，像5或10这样的小数字通常可以很好地发挥无限的作用。Hui（1996）指出，大多数时候收敛速度很快。我们对此持怀疑态度，因为它将被用作指数。如果b为负且sigma足够小，则公式中的（S / L）部分可能会成为问题。

首先，我们将尝试使用正常参数，看看收敛速度有多快：

print（dnt1（100,10,120,80,0.1,0.25,0.05,0.03,20，TRUE））

 

以下屏幕截图显示了上述代码的结果：

公式错误图表显示，在第七步之后，其他步骤不会影响结果。这意味着，出于实际目的，可以通过仅计算前七个步骤来快速估计无限和。这看起来确实很快收敛。然而，这可能是纯粹的运气或巧合。

那么将波动率降低到3％呢？我们必须将N设置为50才能看到收敛：

print（dnt1（100,10,120,80,0.03,0.25,0.05,0.03,50，TRUE））

上述命令提供以下输出：

不是那么令人印象 50步仍然没那么糟糕。如何降低波动率甚至更低？1％时，带有这些参数的公式就会爆炸。首先，这看起来很灾难; 然而，当我们使用3％的波动率时，DNT的价格已经是支付的98.75％。Logic表示DNT价格应该是波动率的单调递减函数，因此我们已经知道，如果波动率低于3％，DNT的价格应至少为98.75％。

另一个问题是，如果我们选择极高的U或极低的L，则会出现计算错误。然而，类似于波动性的问题，常识也有帮助; 如果我们将U更高或更低，则DNT的价格应该增加。

还有一个伎俩。由于所有问题都来自a参数，我们可以尝试将b设置为0，这将使得等于0.5。如果我们也将r设置为0，则当波动率下降时，DNT的价格会收敛到100％。

无论如何，每当我们用有限的总和代替无限和时，总是很好的知道什么时候它会工作，什么时候不工作。我们制作了一个新代码，考虑到融合并不总是很快。诀窍在于，只要最后一步发生了重大变化，该函数就会计算下一步。这仍然不适合所有参数，因为无法解决非常低的波动性，除非我们接受隐含波动率低于1％这一事实，这是一个极端的市场情况，在这种情况下，DNT期权不应定价通过这个公式：

既然我们有一个很好的公式，就可以绘制一些与DNT相关的图表来更熟悉这个选项。之后，我们将使用具有以下参数的特定AUDUSD DNT选项：L等于0.9200，U等于0.9600，K（支付）等于100万美元，T等于0.25年，波动率等于6％，
r_AUD等于2.75％，r_USD等于0.25％，b等于-2.5％。我们将计算并绘制该DNT的所有可能值，从0.9200
到0.9600; 每一步都是一个点（0.0001），所以我们将使用2,000步。

以下代码绘制了底层价格的图表：

 
 for（i in 1：2000）{ 
   y [i] 
    z [i] 
 } 
matplot（x，cbind（y，z），type =“l”，lwd = 2，lty = 1，
   main =“ “，cex.main = 0.8，xlab =” “）

以下输出是上述代码的结果：

可以清楚地看到，即使波动率的微小变化也会对DNT的价格产生巨大影响。查看此图表是一种直观的方法，可以发现vega必须是负面的。有趣的是，即使只是快速浏览一下这张图表，也可以让我们相信，如果我们越来越接近障碍，vega的绝对价值正在下降。

大多数最终用户认为最大的风险是现场接近触发点。这是因为最终用户真的以二进制方式考虑二元期权。只要DNT活着，他们就会关注积极的结果。但是，对于动态套期保值，当DNT的值已经很小时，DNT的风险并不那么有趣。

同样非常有趣的是，由于T-Bill价格与波动性无关，并且由于DNT + DOT = T-Bill等式成立，因此增加的波动性将使DNT的价格降低完全相同的数量，就像它将增加一样DOT的价格。毫无疑问，DOT的vega应该是DNT的精确镜像。

我们可以使用GetGreeks函数来估计vega，gamma，delta和theta。
对于gamma，我们可以通过以下方式使用GetGreeks函数：

GetGreeks 
    all_args1 
    all_args1 [[arg]] 
    all_args2 [[arg]] 
    （do.call（FUN，all_args1） - 
       do.call（FUN，all_args2））/（2 * epsilon）
} 
Gamma 
    arg1 
    arg2 
    arg3 
    y1 
    y2 
   （y1  -  y2 ）/（2 * epsilon）
} 
 
delta 
 （i in 1：200）{ delta [i] 
    x [i]，1000000,0.96,0.92,0.06,0.5,0.02 ，-0.02）vega [i] 
    x [i]，1000000,0.96,0.92,0.06,0.5,0.0025，-0.025）theta [i] 
    x [i]，1000000,0.96,0.92,0.06,0.5,0.0025， - 0.025）gamma [i] 
  
} 
windows（）plot（x，vega，type =“l”，xlab =“S”，ylab =“”，main =“Vega”）

以下图表是上述代码的结果：

在看了价值图表之后，DNT的delta也非常接近直觉; 如果我们接近更高的障碍，我们的delta变为负值，如果我们接近较低的障碍，delta变为正值如下：

windows（）
plot（x，delta，type =“l”，xlab =“S”，ylab =“”，main =“Delta”）

这实际上是一个非凸的情况; 如果我们想做一个动态的三角洲对冲，我们肯定会赔钱。如果现货价格上涨，DNT的差值会减少，所以我们应该购买一些澳元兑美元作为对冲。但是，如果现货价格下跌，我们应该卖出一些澳元兑美元。想象一下，澳元兑美元在早上上涨20点，然后在下午下跌20点。对于动态套期保值者来说，这意味着在价格上涨后买入一些澳元兑美元，并在价格下跌后卖出相同的金额。

可以通过如下的伽玛来描述增量的变化：

windows（）
plot（x，gamma，type =“l”，xlab =“S”，ylab =“”，main =“Gamma”）

负伽玛意味着如果该点上升，我们的delta正在减少，但如果该点下降，我们的delta增加。这听起来不太好。对于这种不方便的非凸状况，有一些补偿，即theta的值是正的。如果没有任何反应，但有一天过去了，DNT将自动获得更多价值。

在这里，我们使用theta作为偏导数的负1倍，因为if（Tt）是剩余时间，我们检查值如何随着t增加一天而变化：

windows（）
plot（x，theta，type =“l”，xlab =“S”，ylab =“”，main =“Theta”）

伽马越负，我们的θ越正。这就是时间补偿负伽玛产生的潜在损失的方式。

风险中性定价也暗示负γ应该由正θ进行补偿。这是Black-Scholes框架对于香草期权的主要信息，但对于外来物也是如此。见Taleb（1997）和Wilmott（2006）。

我们之前已经介绍了Black-Scholes表面; 现在，我们可以详细介绍一下。这个表面也是对θ和delta如何工作的很好的解释。它显示了不同现货价格和成熟时间的期权价格，因此该表面的斜率是一个方向的θ和另一个方向的delta。代码如下：

BS_surf 
 n 
 k 
 m 
 for（i in 1：n）{ 
   for（j in 1：k）{ 
     l 
      m [i，j] 
      } 
} 
persp3D（z = m，xlab =“underlying”，ylab =“Time”，
 } 
 上面的代码给出了以下输出：

我们可以看到已经怀疑的东西; 当时间过去并且斑点移动到（L，U）间隔的中间时，DNT喜欢。

Double-no-touch选项的生命 - 模拟

DNT价格在2014年第二季度的变化情况如何？
我们有开放 - 高 - 低 - 关闭型时间序列，澳元兑美元的频率为5分钟，因此我们知道所有极端价格：

 
 option_price 
 for（i in 1：n）{ option_price [i] U = 0.9600，L = 0.9200，sigma = 0.06，T = t [i] /（60 * 24 * 365），      r = 0.0025，b = -0.0250）} a 
 b 
 option_price_transformed =（option_price  -  a）* 0.03 /（b  -  a）+ 0.92 par（mar = c（6,3,3,5 ））matplot（cbind（underlying，option_price_transformed），type = “l”，

以下是上述代码的输出：

DNT的价格在右轴显示为红色（除以1000），实际的AUDUSD价格在左轴显示为灰色。绿线是0.9200和0.9600的障碍。该图表显示，在2014年第二季度，澳元兑美元货币对在（0.9200; 0.9600）区间内交易; 因此，DNT的支出将为100万美元。这个DNT看起来是一项非常好的投资; 然而，现实只是一个先验几乎无限集的轨迹。它可能发生了不同的事情。例如，2014年5月2日，到期还有59天，澳元兑美元汇率为0.9203，距离下方隔离点只有3个点。此时，此DNT的价格仅为5,302美元，如下面的代码所示：

dnt1（0.9203,1000000,0.9600,0.9200,0.06,59 / 365,0.0025，-0.025）
[1] 5302.213

比较此5,302美元至最初的48,564美元期权价格！

在下面的模拟中，我们将展示一些不同的轨迹。所有这些都是从与4月1日黎明时相同的0.9266澳元兑美元现货价格开始，我们将看到其中有多少人保持在（0.9200; 0.9600）区间内。为简单起见，我们将使用与我们用于定价DNT相同的6％波动率来模拟几何布朗运动：

library（matrixStats）
DNT_sim 
 L = 0.92，N = 5）{ 
  
    option_price 
 


 


 




   matplot（t，option_price，type =“l”，main =“DNT price”，
       xlab =“”，ylab =“”）} 
set.seed（214）
system.time（DNT_sim（））

以下是上述代码的输出：

在这里，唯一幸存的轨迹是红色轨迹; 在所有其他情况下，DNT击中较高或较低的障碍。该生产线set.seed（214）授予，该模拟会看我们运行这个相同的任何时候。五分之一仍然不是那么糟糕; 这表明对于没有动态套期保值的最终用户或赌徒，此选项的近似值为支付的20％（特别是因为利率很低，货币的时间价值并不重要）。

然而，五条轨迹仍然太少，无法得出这样的结论。我们应该检查DNT生存率，以获得更高数量的轨迹。

幸存轨迹的比率可以是该DNT的先验现实生存概率的良好估计; 因此，它的最终用户价值。在迅速增加N之前，我们应该记住这个模拟花了多少时间。对于我的电脑，N = 5需要50.75秒，N = 15需要153.11秒。

以下是N = 15的输出：

现在，15个中有3个幸存下来，因此估计的生存率仍为3/15，相当于20％。看起来这是一个非常好的产品; 价格约为支付的5％，而20％是估计的生存率。出于好奇，运行模拟N等于200.这应该需要大约30分钟。

以下是N = 200的输出：

结果令人震惊; 现在，200个中只有12个存活下来，而这个比例只有6％！因此，为了获得更好的图像，我们应该运行模拟更大的N.

电影Whatever Works by Woody Allen（由Larry David主演）长92分钟; 在模拟时间，即N = 541.对于这个N = 541，只有38个幸存轨迹，导致存活率为7％。

真正预期的生存率是多少？它是20％，6％还是7％？我们此时根本不知道。数学家警告我们，大数定律需要大数，其中大数大于541，因此建议在时间允许的情况下运行此模拟的N大。当然，获得更好的计算机也有助于在同一时间内完成更多的N. 无论如何，从这个角度来看，Hui（1996）相对快速收敛的DNT定价公式得到了一些尊重。

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