BP神经网络
秋招刚结束，这俩月没事就学习下斯坦福大学公开课，想学习一下深度学习（这年头不会DL，都不敢说自己懂机器学习），目前学到了神经网络部分，学习起来有点吃力，把之前学的BP(back-progagation)神经网络复习一遍加深记忆。看了许多文章发现一PPT上面写的很清晰，就搬运过来，废话不多说，直入正题：
单个神经元
神经网络是由多个“神经元”组成，单个神经元如下图所示：
这其实就是一个单层感知机，输入是由ξ1 ,ξ2 ,ξ3和Θ组成的向量。其中Θ为偏置(bias),σ为激活函数(transfer function)，本文采用的是sigmoid函数，功能与阶梯函数(step function)相似控制设神经元的输出，它的优点是连续可导。
是神经元的输出，结果为
可以看得出这个“神经元”的输入-输出映射其实就是一个逻辑回归，常用的激活函数还有双曲正切函数 。
激活函数
sigmoid：函数
取值范围为[0,1],它的图像如下：
求导结果为：
tanh函数：
取值范围为[-1,1],图像如下：
求导数结果为。本文采用的是sigmoid函数作为激活函数。
神经网络模型
神经网络将许多“神经元”联结在一起，一个神经元的输出可以是另一个“神经元”的输入，神经元之间的传递需要乘法上两个神经元对应的权重，下图就是一个简单的神经网络：
这是一个三层的神经网络，使用圆圈来表示神经元的输入，“+1”被称为偏置节点，从左到右依次为输入层、隐藏层和输出层，从图中可以看出，有3个输入节点、3个隐藏节点和一个输出单元(偏置不接受输入)。
本例神经网络的参数有，其中 是第l层第 j 单元与 l+1层第 单元之间的联接参数，即：节点连线的权重，本图中 是第l+1 层第i单元的偏置项。
向前传播
机器学习(有监督)的任务无非是损失函数最小化，BP神经网络的原理是前向传播得到目标值（分类），再通过后向传播对data loss进行优化求出参数。可见最优化部分
表示 层第 单元激活值（输出值）。当 时， ，也就是第 个输入值。对于给定参数集 ， 来表示神经网络最后计算输出的结果。上图神经网络计算步骤如下：
可以看出，神经网络的核心思想是这一层的输出乘上相应的权重加上偏置，带入激活函数后的输出又是下一层的输入。用 表示第层第 单元输入加权和 ，则 。使用向量化表示方法表示，上面的公式可以简写为：
这些计算步骤就是前向传播，将计算过程进行推广，给定第 层的激活值 ，第 层的激活值的计算过程为：
反向传播
在前向传播中，我们得到了神经网络的预测值，这时候可以通过反向传播的方法计算出参数
符号定义
：第l层第j个节点的输入。
：从第l-1层第i个节点到第l层第j个节点的权值。
：Sigmoid激活函数。
：：第l层第j个节点的偏置。
：：第l层第j个节点的输出。
：：输出层第j个节点的目标值(label)。
使用梯度下降的方法求解参数，在求解的过程中需要对输出层和隐藏层分开计算
输出层权重计算
给定样本标签和模型输出结果，输出层的损失函数为：
这其实就是均方差项，训练的目标是最小化该误差，使用梯度下降方法进行优化，对上式子对权重W进行求导：
，整理，
其中=带入，对sigmoid求导得：
输出层第k个节点的输入等于上一层第j个节点的输出乘上，即=，而上一层的输出与输出层的权重变量无关，可以看做一个常数，所以直接求导可以得到：
所以将=带入式子中就得到：
为了方便表示将上式子记作：
其中：
隐藏层权重计算
采用同样方法对隐藏层的权重进行计算，与前面不同的是关于隐藏层和前一层权重的调整
整理
替换sigmoid函数
对sigmoid求导
把带入进去，使用求导的链式法则：
输出层的输入等于上一层的输入乘以相应的权重，即：于是得到
对进行求导（=，同样适用于j），
同输出层计算的方法一样，再次利用，j换成i，k换成j同样成立，带入进去:
整理，得到：
其中：
我们还可以仿照的定义来定义一个，得到：
其中：
偏置调整
从上面的计算步骤中可以看出：例如，偏置节点是不存在对应的权值参数，也就是不存在关于权值变量的偏导数。
对偏置直接求导：
又有
得到：
，其中：
BP算法步骤
1. 随机初始化W和b，需要注意的是，随机初始化并是不是全部置为0，如果所有参数都是用相同的值初始化，那么所有隐藏单元最终会得到与输入值相关、相同的函数(也就是说，对于所有 ，都会取相同的值，那么对于任何输入 都会有： )，随机初始化的目的是使对称失效。
2.对每个输出节点按照这个公式计算delta：
3.对每个隐藏节点按照这个公式计算delta：
4.更新W和b的公式为：
并更新参数，这里的η是学习率。
Reference
2.反向传导算法
